斐波那契额数列

传统的递归实现

public long fibonacci(int n) {
	if (n <= 0) {
		return 0;
	}
	if (n == 1) {
		return 1;
	}
	return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

但以递归求解的过程中会出现很多重复求解 如图:

思路

优化方法:

1. 把已得到的数列保存起来,下次计算时先查询,已计算过就不用重复计算.
2. 采用从下往上计算，可以把计算过了的保存起来，下次要计算时就不必重复计算了：先由f(0)和f(1)计算f(2)，再由f(1)和f(2)计算f(3)……以此类推就行了，计算第n个时，只要保存第n-1和第n-2项就可以了。

实现

public long fibonacci(int n) {
	int result[] = {0, 1};
	if (n < 2) {
		return result[n];
	}
	long fibNMinusOne = 1;
	long fibNMinusTwo = 0;
	long fibN = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;
		fibNMinusTwo = fibNMinusOne;
		fibNMinusOne = fibN;
	}
	return fibN;
}

变种I

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路

将跳法总数记为f(n)，可以知道f(1)=1，f(2)=2。当n>2时，第一次跳1级的话，还有f(n-1)种跳法；第一次跳2级的话，还有f(n-2)种跳法，所以可以推得f(n)=f(n-1)+f(n-2).

实现

public int JumpFloorI(int n) {
	if (n ==2) {
		return 2;
	}
	if (n == 1) {
		return 1;
	}
	return JumpFloorI(n - 1) + JumpFloorI(n - 2);
}

变种II

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路

n级台阶，第一步有n种跳法：跳1级、跳2级、到跳n级
跳1级，剩下n-1级，则剩下跳法是f(n-1)
跳2级，剩下n-2级，则剩下跳法是f(n-2)
所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(1)
因为f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+...+f(1)
两个相减f(n)-f(n-1)=f(n-1)
所以f(n)=2*f(n-1)

实现

public int JumpFloorII(int n) {
	if (n == 1) {
		return 1;
	} else {
		return 2 * JumpFloorII((n - 1));
	}
}

变种III

我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。
请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

思路

1. target= 1大矩形为2*1，只有一种摆放方法，return1；
2. target= 2 大矩形为2*2，有两种摆放方法，return2；
3. target= n时候第一次摆放有两种方式
   

因为，摆放了一块12的小矩阵，对应下方的12,摆放方法就确定了，所以为f(targte-2)

此解来自牛客网Follow

实现

public int RectCover(int target) {
	if (target < 1) {
		return 0;
	}
	if (target == 1) {
		return 1;
	}
	if (target == 2) {
		return 2;
	}
	return RectCover(target - 1) + RectCover(target - 2);
}