SG函数
接触了几种基础的博弈论之后，应该多多少少都听过SG函数，SG函数可以解决大多数博弈问题，当然也可以通过SG函数找规律，然后计算结果。
由于本人愚昧，一直没有体会到SG的精髓，一直半懂不懂的，然后现在终于明白了，所以记录下这个神奇的SG函数。
SG函数：
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
这一步应该是非常简单的，就是定义了新的运算为mex。
对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(F)，其中F 是 x 后继状态的SG函数值的集合（就是上述mex中的数值）。最后返回值（也就是SG(X)）为0为必败点，不为零必胜点。
进一步解释一下F，就是题意中给出的可以移动的次数。举个例子来说，一堆石子，每次只能拿1，3，5，7个，那么S数组就是1，3，5，7。
假如说是在一个游戏中有多个石子堆该怎么办了。我们只需要把对每个石子堆进行sg函数的调用，将得到的所有的值进行异或。得出来的结果为0则该情形为必败态。否则为必胜态。
代码：
//HDU 1847 -- Good Luck in CET-4 Everybody!
#include <iostream>
#include <cstring>
#define MAXN 1010
#define MAXM 11
using namespace std;
int sg[MAXN], f[MAXM];
bool Hash[MAXN];
void getSG(int m)
{
memset(sg, 0, sizeof(sg));
for (int i = 1; i < MAXN; i++)//枚举石子的个数
{
memset(Hash, false, sizeof(Hash));
for (int j = 0; j < m && f[j] <= i; j++)
Hash[sg[i-f[j]]] = true;//枚举每次拿走的个数并标记
for (int j = 0; j < MAXN; j++)
{
if (!Hash[j])
{
sg[i] = j; //找到这个F[](该状态可以达到的状态)中不存在的最小的数
break;
}
}
}
}
int main()
{
int n, num = 1;
for (int i = 0; i < MAXM; num <<= 1, i++)
f[i] = num;//这里的F数组就是可以移动的步数，每次都是2的幂次
getSG(MAXM);
while (cin >> n)
{
if (sg[n])
cout << "Kiki" << endl;
else
cout << "Cici" << endl;
}
return 0;
}
HDU 1848 -- Fibonacci again and again (分为三个子游戏，求原游戏sg值)：
#include <iostream>
#include <cstring>
#define MAXN 1010
#define MAXM 100
using namespace std;
int sg[MAXN], f[MAXM];
bool Hash[MAXN];
int getFib() {
int i;
f[0] = 1, f[1] = 2;
for (i = 2; f[i] <= MAXN; i++) f[i] = f[i-1] + f[i-2];
return i;
}
void getSG(int m) {
memset(sg, 0, sizeof(sg));
for (int i = 1; i < MAXN; i++) {
memset(Hash, false, sizeof(Hash));
for (int j = 0; j < m && f[j] <= i; j++)
Hash[sg[i-f[j]]] = true;
for (int j = 0; j < MAXN; j++) {
if (!Hash[j]) {
sg[i] = j;
break;
}
}
}
}
int main() {
int a, b, c;
getSG(getFib());
while (cin >> a >> b >> c && (a || b || c)) {
if (sg[a] ^ sg[b] ^ sg[c]) cout << "Fibo" << endl;
else cout << "Nacci" << endl;
}
return 0;
}
从以上两个题目中可以看出，f数组就是题目描述中的每次可以移动的石子数量，而getSG是相同的，具体怎么标记的可以看第一个例子中的注释。对于多堆石子，就是每一堆进行操作，然后最后将结果异或即可得出最后答案。
接下来再看几个题目：
模板题：HDU 1536 -- S-Nim
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define MAXN 10010 // 最大堆数
#define MAXM 110 // 最多有MAXM种不同个数的取石子方法
using namespace std;
int f[MAXM]; // f为可取石子数的集合
int sg[MAXN]; // sg[i]表示石子数为i时的sg函数值
bool Hash[MAXN]; // 标记一个数是否在mex{}集合中出现
// 打表预处理sg数组
void getSG(int m)
{
memset(sg, 0, sizeof(sg));
for (int i = 1; i < MAXN; i++)
{
memset(Hash, false, sizeof(Hash));
for (int j = 0; j < m && f[j] <= i; j++)
Hash[sg[i-f[j]]] = true; // 当前石子数为i，i-f[i]表示由i所能达到的石子数，将其sg值标记为已出现
for (int j = 0; j < MAXN; j++) // mex(minimal excludant)运算
{
if (!Hash[j])
{
sg[i] = j;
break;
}
}
}
}
int main()
{
int n, m;
while (cin >> m && m)
{
for (int i = 0; i < m; i++) cin >> f[i];
sort(f, f + m);
getSG(m);
cin >> n;
while (n--)
{
int num, sum = 0;
cin >> num;
for (int i = 0; i < num; i++)
{
int each;
cin >> each;
sum ^= sg[each];
}
if (sum) cout << 'W';
else cout << 'L';
}
cout << endl;
}
return 0;
}
SG函数还有一个深搜版本，具体实现和循环差不多。具体如下：
//注意 S数组要按从小到大排序 SG函数要初始化为-1 对于每个集合只需初始化1遍
//n是集合s的大小 S[i]是定义的特殊取法规则的数组
int s[110],sg[10010],n;
int SG_dfs(int x)
{
int i;
if(sg[x]!=-1)
return sg[x];
bool vis[110];
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(i=0;i<n;i++)
{
if(x>=s[i])
{
SG_dfs(x-s[i]);
vis[sg[x-s[i]]]=1;
}
}
int e;
for(i=0;;i++)
if(!vis[i])
{
e=i;
break;
}
return sg[x]=e;
}
一般DFS只在打表解决不了的情况下用，首选打表预处理。具体用法如下：
还是HDU 1536 -- S-Nim
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #define MAXN 10010 // 最大堆数 #define MAXM 110 // 最多有MAXM种不同个数的取石子方法 using namespace std; int m; int f[MAXM]; // f为可取石子数的集合 int sg[MAXN]; // sg[i]表示石子数为i时的sg函数值 bool Hash[MAXN]; // 标记一个数是否在mex{}集合中出现 // 加一个dfs预处理sg数组，注意sg数组需要初始化为-1，而上面打表解法需要初始化为0 // 一般首选打表预处理，难以打表才用dfs int SG_dfs(int x) { if(sg[x]!=-1) return sg[x]; bool vis[110]; memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=0;i<m;i++) { if(x>=f[i]) { SG_dfs(x-f[i]); vis[sg[x-f[i]]]=1; } } int e; for(int i=0;;i++) if(!vis[i]) { e=i; break; } return sg[x]=e; } int main() { while (cin >> m && m) { for (int i = 0; i < m; i++) cin >> f[i]; sort(f, f + m); memset(sg,-1,sizeof(sg)); int n; cin >> n; while (n--) { int num, sum = 0; cin >> num; for (int i = 0; i < num; i++) { int each; cin >> each; sum ^= SG_dfs(each); } if (sum) cout << 'W'; else cout << 'L'; } cout << endl; } return 0; }
LightOJ 1315Game of Hyper Knights，此题打表不好处理，只好DFS。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; int next[6][2]={{-2,1},{1,-2},{-2,-1},{-1,-2},{-3,-1},{-1,-3}}; #define maxn 1005 int sg[maxn][maxn]; int dfs(int x,int y) { int vis[105]={0}; //注意该数组是一维的 表示该点后继的sg值的情况 if(sg[x][y]!=-1) return sg[x][y]; for(int i=0;i<6;i++) { int nx=x+next[i][0]; int ny=y+next[i][1]; if(nx>=0&&ny>=0) //注意不能不加符号就判断 等于0也是算在内的 vis[dfs(nx,ny)]=1; //因为可能走到的点的sg值还没有求过 所以要用递归深搜 //之前写的非递归是因为之前的sg值都求过了 不用搜索也可以 } for(int j=0;j<100;j++) if(!vis[j]) return sg[x][y]=j; } int main() { memset(sg,-1,sizeof(sg)); //这里定义成-1 比0 好 因为有的就是0 if的时候0还要再算一次浪费时间 int t,cas=1; cin>>t; while(t--) { int n,x,y,ans=0; cin>>n; for(int i=0;i<n;i++) { cin>>x>>y; ans^=dfs(x,y); } printf("Case %d: %s\n",cas++,ans?"Alice":"Bob"); } return 0; }
就先介绍到这，以后再慢慢补坑。
