普里姆算法的应用
package Prime_Kruskal; import java.util.Scanner; /** * Prime最小生成树的算法 * 1.设图的顶点集为V，首先选取一个点作为起始点，比如说1顶点，加入到U集合中 2.在所有u∈U,v∈V－U的边(u,v)∈E中,找一条权最小的边(u,v)，将此边加进集合T中，并将此边的非U中顶点加入U中。 此步骤的功能是在边集E中找一条边,要求这条边满足以下条件:首先边的两个顶点要分别在顶点集合U和V－U中,其次边的权要最小。 找到这条边以后,把这条边放到边集T中,并把这条边上不在U中的那个顶点加入到U中。 3:如果U=V,则算法结束;否则重复步骤2。可以把本步骤看成循环终止条件。 我们可以算出当U=V时,步骤2共执行了n－1次(设n为图中顶点的数目),T中也增加了n－1条边,这n－1条边就是需要求出的最小生成树的边。 * @author Administrator * */ public class PrimeApp { private int prime[][];//图的邻接矩阵 private boolean visit[];//记录顶点是不是被访问过，即是不是加入到顶点集U中 private int Len[];//记录顶点集U到i的最短距离，即所有点到i的距离之最小者。 private int n;//顶点数 int ans; public PrimeApp(int n,int [][] prime){ this.n = n; this.prime = prime; visit = new boolean[n+1];//开始的时候标记为都未访问 Len = new int[n+1]; } private int prime_solve(int xx){ int minx; int k = 0; ans = -1; for(int i=1;i<=n;i++){ Len[i] = prime[xx][i]; } Len[xx] = 0; visit[xx] = true;//此时U中只有起点xx //注意：起点xx已经被访问过，所以只需要访问n-1个即可 for(int i=1;i<n;i++){ minx = Integer.MAX_VALUE; for(int j=1;j<=n;j++){ //在所有u∈U,v∈V－U的边(u,v)∈E中,找一条权最小的边(u,v) if(!visit[j]&& Len[j] < minx){//这里找的是：与顶点集U相邻的距离最小值 minx = Len[j]; k = j; } } visit[k] = true;//找到，加入U if (ans < minx){ //保存最短路径中最大的一条边 ans = minx; } //i=1时，U中只有起点xx和新加入的k，Len[j]与prim[k][j]比较：就是比较xx到j的距离和新加入U的k顶点到j的距离 //之后，Len[j]就是U到j的最短距离啦，这样把U中所有顶点看成一个，Len[j]就是U到j(V-U中任意一个)的最短距离 //以此类推，i>1 时，每次都把原来的顶点集U到j的距离和新加入的k到j的距离比较，这样得到了新U到j的最短距离 //从而,就得到了新U到V-U中任一顶点的距离，保存在 Len中 for (int j = 1; j <= n; j++) { if ( !visit[j] && Len[j] > prime[k][j]) { Len[j] = prime[k][j]; } } } return ans; } public static void main(String[] args) { Scanner in=new Scanner(System.in); int T=in.nextInt(); while((T--)>0){ int n=in.nextInt(); int[][] prim=new int[n+1][n+1]; for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= n; j ++){ prim[i][j]=in.nextInt(); } PrimeApp m=new PrimeApp(n,prim); System.out.printf("%d\n",m.prime_solve(1)); //以第一个顶点开始，也可以是其他 } } }
例题POJ2485： 给出t组数据，每组数据给出图的顶点数n，然后下面是n*n的无向图邻接矩阵表示，求最小生成树中权最大的边的权值。样例如下： Sample Input 1 3 0 990 692 990 0 179 692 179 0 Sample Output 692
1、生成树的概念
连通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树。
生成树是连通图的极小连通子图。所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则将出现一个回路；若去掉一条边，将会使之变成非连通图。 生成树各边的权值总和称为生成树的权。权最小的生成树称为最小生成树。
2、最小生成树的性质
用哲学的观点来说，每个事物都有自己特有的性质，那么图的最小生成树也是不例外的。按照生成树的定义，n 个顶点的连通网络的生成树有 n 个顶点、n-1 条边。
3、构造最小生成树，要解决以下两个问题：
( 1).尽可能选取权值小的边，但不能构成回路（也就是环）。
(2).选取n-1条恰当的边以连接网的 n个顶点。
求最小生成树的算法一般都使用贪心策略，有Prim算法和Krusal算法等。
普里姆算法的基本思想：
1）清空生成树，任取一个顶点加入生成树；
2）在那些一个端点在生成树里，另一个端点不在生成树里的边中，选取一条权最小的边，将它和另一个端点加进生成树；
3）重复步骤2，直到所有的顶点都进入了生成树为止，此时的生成树就是最小生成树。
即: 从连通网络 N = { V, E }中的某一顶点 u0 出发，选择与它关联的具有最小权值的边(u0, v)，将其顶点v加入到生成树的顶点集合U中。以后每一步从一个顶点在U中，而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把它的顶点 v加入到集合U中。如此继续下去，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。
编写程序:对于如下一个带权无向图，给出节点个数以及所有边权值，用Prim算法求最小生成树。
代码的注释我写得很详细，方便理解，有几点需要说明一下。
(1)、2个for循环都是从2开始的，因为一般我们默认开始就把第一个节点加入生成树，因此之后不需要再次寻找它。
( 2)、lowcost[i]记录的是以节点i为终点的最小边权值。初始化时因为默认把第一个节点加入生成树，因此lowcost[i] = graph[1][i]，即最小边权值就是各节点到1号节点的边权值中最小的。
( 3)、mst[i]记录的是lowcost[i]对应的起点，这样有起点，有终点，即可唯一确定一条边了。初始化时mst[i] = 1，即每条边都是从1号节点出发。
输入数据:
7 11
A B 7
A D 5
B C 8
B D 9
B E 7
C E 5
D E 15
D F 6
E F 8
E G 9
F G 11
输出:
A - D : 5
D - F : 6
A - B : 7
B - E : 7
E - C : 5
E - G : 9
Total:39
===================================================
import java.util.*;
public class Main {
static int MAXCOST=Integer.MAX_VALUE;
static int Prim(int graph[][], int n){
/* lowcost[i]记录以i为终点的边的最小权值，当lowcost[i]=0时表示终点i加入生成树 */
int lowcost[]=new int[n+1];
/* mst[i]记录对应lowcost[i]的起点，当mst[i]=0时表示起点i加入生成树 */
int mst[]=new int[n+1];
int min, minid, sum = 0;
/* 默认选择1号节点加入生成树，从2号节点开始初始化 */
for (int i = 2; i <= n; i++){
/* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */
lowcost[i] = graph[1][i];
/* 标记所有节点的起点皆为默认的1号节点 */
mst[i] = 1;
}
/* 标记1号节点加入生成树 */
mst[1] = 0;
/* n个节点至少需要n-1条边构成最小生成树 */
for (int i = 2; i <= n; i++){
min = MAXCOST;
minid = 0;
/* 找满足条件的最小权值边的节点minid */
for (int j = 2; j <= n; j++){
/* 边权值较小且不在生成树中 */
if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0){
min = lowcost[j];
minid = j;
}
}
/* 输出生成树边的信息:起点，终点，权值 */
System.out.printf("%c - %c : %d\n", mst[minid] + 'A' - 1, minid + 'A' - 1, min);
/* 累加权值 */
sum += min;
/* 标记节点minid加入生成树 */
lowcost[minid] = 0;
/* 更新当前节点minid到其他节点的权值 */
for (int j = 2; j <= n; j++){
/* 发现更小的权值 */
if (graph[minid][j] < lowcost[j]){
/* 更新权值信息 */
lowcost[j] = graph[minid][j];
/* 更新最小权值边的起点 */
mst[j] = minid;
}
}
}
/* 返回最小权值和 */
return sum;
}
public static void main(String args[]){
Scanner sc=new Scanner(System.in);
int cost;
char chx, chy;
/* 读取节点和边的数目 */
int n=sc.nextInt();//节点
int m=sc.nextInt();//边数
int graph[][]=new int[n+1][n+1];
/* 初始化图，所有节点间距离为无穷大 */
for (int i = 1; i <= n; i++){
for (int j = 1; j <= n; j++){
graph[i][j] = MAXCOST;
}
}
/* 读取边信息 */
for (int k = 0; k < m; k++){
chx=sc.next().charAt(0);
chy=sc.next().charAt(0);
cost=sc.nextInt();
int i = chx - 'A' + 1;
int j = chy - 'A' + 1;
graph[i][j] = cost;
graph[j][i] = cost;
}
/* 求解最小生成树 */
cost = Prim(graph, n);
/* 输出最小权值和 */
System.out.println("Total:"+cost);
}
}
2：
Lagrishan的一个热带岛屿上的行政长官有一个问题要解决。他决定把几年前得到的外国援助资金用于修建村庄之间的道路。但是丛林比道路多多了，使道路网络的维护太过于昂贵了。理事会必须选择停止维修一些道路。左侧图显示当前所有使用中的道路，以及现在每月的维护费用。当然，村庄之间必需有一些公路能够相通，即使路线并不像以前一样短。行政长官想告诉理事会怎样才使每月的花费最小，并且所维持的道路，将连接所有村庄。上面的地图标记了村庄A到I。右边的图显示了每月能够维护道路的最小费用为216aacms。你的任务是编写一个程序，将解决这些问题。 
[输入]:
输入包含的数据集个数在100以内，以0作为最后一行。每个数据集的第一行只包含一个表示村庄个数的数n，1<n<27，并且这n个村庄是由大写字母表里的前n个字母表示。接下来的n- 1行是由字母表的前n-1个字母开头。最后一个村庄表示的字母不用输入。对于每一行，以每个村庄表示的字母开头，然后后面跟着一个数字，表示有多少条道路可以从这个村到后面字母表中的村庄。如果k是大于0，表示该行后面会表示k条道路的k个数据。每条道路的数据是由表示连接到另一端村庄的字母和每月维修该道路的花费组成。维修费用是正整数的并且小于100。该行的所有数据字段分隔单一空白。该公路网将始终连接所有的村庄。该公路网将永远不会超过75条道路。没有任何一个村庄会有超过15条的道路连接到其他村庄（之前或之后的字母）。在下面的示例输入，其中第一个数据集是与上面的地图相一致的。
[输出]:
输出是每行一个整数，表示每个数据集中每月维持道路系统连接到所有村庄所花费的最低成本
[样例]:
Sample Input 9 A 2 B 12 I 25 B 3 C 10 H 40 I 8 C 2 D 18 G 55 D 1 E 44 E 2 F 60 G 38 F 0 G 1 H 35 H 1 I 35 3 A 2 B 10 C 40 B 1 C 20 0 Sample Output 216 30
[解题分析]:
从题目中的图很容易就可以看出这是一道最小生成树的问题，对于最小生成树，有两种算法可以解决。一种是Prim算法，与图中边数无关，该算法适合于稠密图，而另外一种是 Kruskal，该算法的时间主要取决于边数，它较适合于稀疏图。下面解法是Prim算法。
import java.util.Scanner;
public class Main {
static int MAXCOST=Integer.MAX_VALUE;
static int Prim(int graph[][], int n){
/* lowcost[i]记录以i为终点的边的最小权值，当lowcost[i]=0时表示终点i加入生成树 */
int lowcost[]=new int[n+1];
/* mst[i]记录对应lowcost[i]的起点，当mst[i]=0时表示起点i加入生成树 */
int mst[]=new int[n+1];
int min, minid, sum = 0;
/* 默认选择1号节点加入生成树，从2号节点开始初始化 */
for (int i = 2; i <= n; i++){
/* 最短距离初始化为其他节点到1号节点的距离 */
lowcost[i] = graph[1][i];
/* 标记所有节点的起点皆为默认的1号节点 */
mst[i] = 1;
}
/* 标记1号节点加入生成树 */
mst[1] = 0;
/* n个节点至少需要n-1条边构成最小生成树 */
for (int i = 2; i <= n; i++){
min = MAXCOST;
minid = 0;
/* 找满足条件的最小权值边的节点minid */
for (int j = 2; j <= n; j++){
/* 边权值较小且不在生成树中 */
if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0){
min = lowcost[j];
minid = j;
}
}
/* 输出生成树边的信息:起点，终点，权值 */
//System.out.printf("%c - %c : %d\n", mst[minid] + 'A' - 1, minid + 'A' - 1, min);
/* 累加权值 */
sum += min;
/* 标记节点minid加入生成树 */
lowcost[minid] = 0;
/* 更新当前节点minid到其他节点的权值 */
for (int j = 2; j <= n; j++){
/* 发现更小的权值 */
if (graph[minid][j] < lowcost[j]){
/* 更新权值信息 */
lowcost[j] = graph[minid][j];
/* 更新最小权值边的起点 */
mst[j] = minid;
}
}
}
/* 返回最小权值和 */
return sum;
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while (sc.hasNext()) {
int n = sc.nextInt();
if (n == 0) {
break;
}
int graph[][]=new int[n+1][n+1];
/* 初始化图，所有节点间距离为无穷大 */
for (int i = 1; i <= n; i++){
for (int j = 1; j <= n; j++){
graph[i][j] = MAXCOST;
}
}
for (int i = 1; i <=n-1; i++) {
char chx = sc.next().charAt(0);
int x = chx - 'A' + 1;
int m = sc.nextInt();
int j = 0;
while (j < m) {
char chy= sc.next().charAt(0);
int y = chy - 'A' + 1;
int cost = sc.nextInt();
graph[x][y] = cost;
graph[y][x] = cost;
j++;
}
}
System.out.println(Prim(graph, n));
}
}
}
