介绍一个快速确定神经网络模型中各层矩阵维度的方法

深度学习在设计神经网络结构时需要指定每个隐藏层权重矩阵、偏置项的维度，有的时候容易搞混淆，导致运行时产生维度不对的错误，特别是对于隐藏层既深又宽的网络，更容易出错。下面以一个实例来说明怎么简单快速确定每一层各个矩阵的维度。

假设需要拟合的函数为：y=f(x)=WX+b。

损失函数：J(W,b)

其中 X：输入特征，W：权重，b：偏置项

正(前)向传播的计算公式

a[0]=X，z[i]=w[i]*a[i-1]+b[i] ，a[i]=g[i](z[i])

向量化表示

A[0]=X，Z[i]=W[i]*A[i-1]+b[i] ，A[i]=g[i](Z[i])

反(后)向传播的计算公式

dz[i]=da[i]*g[i](z[i])，dw[i]=dz[i]*a[i-1]

db[i]=dz[i]，da[i-1]=w[i].T*dz[i]

向量化表示

dZ[i]=dA[i]*g[i](Z[i])，dW[i]=1/m*dZ[i]*A[i-1].T

db[i]=1/m*np.sum(dZ[i],axis=1,keepdims=True)

dA[i-1]=W[i].T*dZ[i]，W[i]=W[i-1]-α*dJ(W,b)

 

对上述公式的简要说明

i：第i层(从1开始计数)

X：输入特征

g[i]：第i层使用的激活函数

A[i]：第i层的输出(也是第i+1层的输入)

m：样本数量

dZ[i]：偏导数，dW[i]：偏导数，db[i]：偏导数，dA[i-1]：偏导数，dJ(W,b)：偏导数

α：学习率

 

神经网络示例

上图中每个圆圈表示一个神经元。

n[i]：第i层的神经元数量，i=0时表示输入层的特征数目(上图中有x1，x2两个特征)，m：样本数量。

 

计算矩阵的维度

w[i]=[n[i], n[i-1]]，维度是：n[i]行，n[i-1]列。从图中可知行数是本层神经元的数量，列数是前一层神经元的数量。

b[i]=[n[i], 1]，维度是：n[i]行，1列

a[i]=z[i]=[n[i], 1]，维度是：n[i]行，1列。由前面的正向传播公式：a[i]=g[i](z[i])，可知a与z的维度是相同的。

a[0]：输入层，a[i] ：第 i+1 层的输入

 

由上面的规则可知示例神经网络图中，w[1]是一个3行2列的矩阵，b[1]是3行1列的矩阵，a[1]和z[1]也是3行1列的矩阵，由此类推：w[2]是一个4行3列的矩阵，w[3]是一个2行4列的矩阵，w[4]是一个1行2列的矩阵。

 

简单总结

对于w矩阵，行数：本层神经元的数量，列数：前一层神经元的数量(第0层即是输入层特征的数量)

对于b矩阵，行数：该层w矩阵的行数，列数：1

对于z和a矩阵，行数：该层w矩阵的行数，列数：1

 

在确定了各层矩阵之后，神经网络就设计好了，下一个环节就是设计算法步骤训练模型。模型训练过程中需要根据训练情况调适模型，使得模型对训练数据及测试数据的拟合度高、误差小，训练模型时尤其需要注意偏差与方差问题，参看 深度学习模型训练之偏差与方差。