【Numpy核心编程攻略：Python数据处理、分析详解与科学计算】2.8 爱因斯坦求和约定：einsum的七种武器

2.8 爱因斯坦求和约定：einsum的七种武器

目录

2.8.1 爱因斯坦求和约定的基本概念

爱因斯坦求和约定是一种简化张量运算的表示方法，通过省略求和符号，使得张量运算的表达式更加简洁。NumPy 的 einsum 函数就是基于这一约定实现的，能够高效地进行各种张量操作。

• Why Einsum?：为什么使用爱因斯坦求和约定。
• Formal Definition：爱因斯坦求和约定的正式定义。
• Key Features：爱因斯坦求和约定的关键特性。

import numpy as np

# 创建两个 2x2 的矩阵
a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([[2, 3], [4, 5]])

# 使用 einsum 进行矩阵乘法
result = np.einsum('ij,jk->ik', a, b)  # 计算 a 和 b 的矩阵乘法
print(result)

2.8.2 NumPy的einsum符号系统解析

einsum 函数通过字符串参数来描述张量操作，以下是几种常见的使用场景和示例。

2.8.2.1 标量乘法

• Description：标量乘法的基本概念和 einsum 的实现。
• Example：使用 einsum 进行标量乘法的示例。

import numpy as np

# 创建一个 2x2 的矩阵和一个标量
a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
scalar = 2

# 使用 einsum 进行标量乘法
result = np.einsum('ij,j->ij', a, np.array([scalar]))  # 计算 a 和 scalar 的乘法
print(result)

2.8.2.2 矩阵乘法

• Description：矩阵乘法的基本概念和 einsum 的实现。
• Example：使用 einsum 进行矩阵乘法的示例。

import numpy as np

# 创建两个 2x2 的矩阵
a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([[2, 3], [4, 5]])

# 使用 einsum 进行矩阵乘法
result = np.einsum('ij,jk->ik', a, b)  # 计算 a 和 b 的矩阵乘法
print(result)

2.8.2.3 多维数组乘法

• Description：多维数组乘法的基本概念和 einsum 的实现。
• Example：使用 einsum 进行多维数组乘法的示例。

import numpy as np

# 创建两个 2x2x2 的多维数组
a = np.array([[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]])
b = np.array([[[2, 3], [4, 5]], [[6, 7], [8, 9]]])

# 使用 einsum 进行多维数组乘法
result = np.einsum('ijk,ikl->ijl', a, b)  # 计算 a 和 b 的多维数组乘法
print(result)

2.8.2.4 张量缩并

• Description：张量缩并的基本概念和 einsum 的实现。
• Example：使用 einsum 进行张量缩并的示例。

import numpy as np

# 创建两个 2x2x2 的多维数组
a = np.array([[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]])
b = np.array([[[2, 3], [4, 5]], [[6, 7], [8, 9]]])

# 使用 einsum 进行张量缩并
result = np.einsum('ijk,ijk->i', a, b)  # 计算 a 和 b 的张量缩并
print(result)

2.8.2.5 广播操作

• Description：广播操作的基本概念和 einsum 的实现。
• Example：使用 einsum 进行广播操作的示例。

import numpy as np

# 创建一个 2x2 的矩阵和一个 2 的向量
a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([2, 3])

# 使用 einsum 进行广播操作
result = np.einsum('ij,j->ij', a, b)  # 计算 a 和 b 的广播操作
print(result)

2.8.2.6 点积和内积

• Description：点积和内积的基本概念和 einsum 的实现。
• Example：使用 einsum 进行点积和内积的示例。

import numpy as np

# 创建两个 2 的向量
a = np.array([1, 2])
b = np.array([2, 3])

# 使用 einsum 进行点积
dot_product = np.einsum('i,i->', a, b)  # 计算 a 和 b 的点积
print(f"点积结果: {dot_product}")

# 创建两个 2x2 的矩阵
a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([[2, 3], [4, 5]])

# 使用 einsum 进行内积
inner_product = np.einsum('ij,ij->', a, b)  # 计算 a 和 b 的内积
print(f"内积结果: {inner_product}")

2.8.2.7 外积

• Description：外积的基本概念和 einsum 的实现。
• Example：使用 einsum 进行外积的示例。

import numpy as np

# 创建两个 2 的向量
a = np.array([1, 2])
b = np.array([2, 3])

# 使用 einsum 进行外积
outer_product = np.einsum('i,j->ij', a, b)  # 计算 a 和 b 的外积
print(f"外积结果: \n{outer_product}")

2.8.3 张量缩并优化

2.8.3.1 优化策略

• Description：张量缩并的优化策略及其原理。
• ** Techniques**：常见的优化技术，如循环展开、内存对齐等。

2.8.3.2 性能测试

• Setup：设置测试环境和测试数据。
• Test Cases：具体的测试用例和代码。
• Results：测试结果和分析。

import numpy as np
import time

# 创建两个 1000x1000x1000 的多维数组
a = np.random.rand(1000, 1000, 1000)
b = np.random.rand(1000, 1000, 1000)

# 使用 einsum 进行张量缩并
start_time = time.time()
result = np.einsum('ijk,ijk->i', a, b)  # 计算 a 和 b 的张量缩并
end_time = time.time()
print(f"使用 einsum 计算张量缩并的时间: {end_time - start_time} 秒")

# 传统的for循环计算
def tensor_contraction_for(a, b):
    result = np.zeros(a.shape[0])
    for i in range(a.shape[0]):
        for j in range(a.shape[1]):
            for k in range(a.shape[2]):
                result[i] += a[i, j, k] * b[i, j, k]
    return result

start_time = time.time()
result_for = tensor_contraction_for(a, b)
end_time = time.time()
print(f"使用 for 循环计算张量缩并的时间: {end_time - start_time} 秒")

# 验证结果是否一致
assert np.allclose(result, result_for)

2.8.4 与BLAS库的交互

2.8.4.1 BLAS库简介

• Description：BLAS（Basic Linear Algebra Subprograms）库的基本概念和功能。
• Advantages：BLAS库在矩阵和张量运算中的优势。

2.8.4.2 BLAS与einsum的集成

• Description：BLAS库与 einsum 的集成机制。
• Example：使用 einsum 和 BLAS库进行大型矩阵运算的示例。

import numpy as np
import time
import scipy.linalg.blas as blas

# 创建两个 10000x10000 的大型矩阵
a = np.random.rand(10000, 10000)
b = np.random.rand(10000, 10000)

# 使用 einsum 进行矩阵乘法
start_time = time.time()
result_einsum = np.einsum('ij,jk->ik', a, b)
end_time = time.time()
print(f"使用 einsum 计算矩阵乘法的时间: {end_time - start_time} 秒")

# 使用 BLAS 进行矩阵乘法
start_time = time.time()
result_blas = blas.dgemm(1.0, a, b)
end_time = time.time()
print(f"使用 BLAS 计算矩阵乘法的时间: {end_time - start_time} 秒")

# 验证结果是否一致
assert np.allclose(result_einsum, result_blas)

2.8.5 实际量子力学计算案例

2.8.5.1 量子力学背景介绍

• Description：量子力学的基本概念和应用领域。
• Key Operations：量子力学计算中常见的张量操作。

2.8.5.2 使用einsum进行量子力学计算

• Description：使用 einsum 进行量子力学计算的具体步骤和方法。
• Example：使用 einsum 计算量子力学中常见的张量操作。

import numpy as np
import time

# 创建量子态向量
psi = np.array([1, 0, 0, 1]) / np.sqrt(2)

# 创建 Pauli 矩阵
sigma_x = np.array([[0, 1], [1, 0]])
sigma_y = np.array([[0, -1j], [1j, 0]])
sigma_z = np.array([[1, 0], [0, -1]])

# 使用 einsum 计算 Pauli 矩阵与量子态的期望值
start_time = time.time()
expectation_x = np.einsum('i,ij,j->', psi.conj(), sigma_x, psi)
expectation_y = np.einsum('i,ij,j->', psi.conj(), sigma_y, psi)
expectation_z = np.einsum('i,ij,j->', psi.conj(), sigma_z, psi)
end_time = time.time()
print(f"使用 einsum 计算 Pauli 矩阵与量子态的期望值的时间: {end_time - start_time} 秒")

# 传统的for循环计算
def calculate_expectation(psi, sigma):
    result = 0
    for i in range(psi.shape[0]):
        for j in range(psi.shape[0]):
            result += psi[i].conj() * sigma[i, j] * psi[j]
    return result

start_time = time.time()
expectation_x_for = calculate_expectation(psi, sigma_x)
expectation_y_for = calculate_expectation(psi, sigma_y)
expectation_z_for = calculate_expectation(psi, sigma_z)
end_time = time.time()
print(f"使用 for 循环计算 Pauli 矩阵与量子态的期望值的时间: {end_time - start_time} 秒")

# 验证结果是否一致
assert np.allclose(expectation_x, expectation_x_for)
assert np.allclose(expectation_y, expectation_y_for)
assert np.allclose(expectation_z, expectation_z_for)

print(f"Pauli X 期望值: {expectation_x}")
print(f"Pauli Y 期望值: {expectation_y}")
print(f"Pauli Z 期望值: {expectation_z}")

2.8.6 总结

总结 einsum 函数的多种应用场景和优化策略，帮助读者更好地理解和应用这一强大的工具。

• Advantages：einsum 的主要优势。
• Best Practices：使用 einsum 的最佳实践。
• Common Pitfalls：einsum 中常见的坑和解决方法。

2.8.7 参考文献

参考资料	链接
《NumPy Beginner’s Guide》	NumPy Beginner’s Guide
《Python for Data Analysis》	Python for Data Analysis
NumPy 官方文档	NumPy einsum Documentation
TensorFlow 官方文档	TensorFlow einsum Documentation
《高性能Python》	High Performance Python
《Python数据科学手册》	Python Data Science Handbook
Stack Overflow	NumPy einsum Examples
Medium	Optimizing NumPy with einsum
SciPy 官方文档	SciPy BLAS Documentation
Wikipedia	Einstein Summation Convention
量子力学教程	Quantum Mechanics Lecture Notes
《Numerical Linear Algebra》	Numerical Linear Algebra

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这篇文章包含了详细的原理介绍、代码示例、源码注释以及案例等。希望这对您有帮助。如果有任何问题请随私信或评论告诉我。