13、梯度下降算法
1、机器学习中为什么需要梯度下降
梯度下降是机器学习中常见优化算法之一，梯度下降法有以下几个作用：
（1）梯度下降是迭代法的一种，可以用于求解最小二乘问题。
（2）在求解机器学习算法的模型参数，即无约束优化问题时，主要有梯度下降法（Gradient Descent）和最小二乘法。
（3）在求解损失函数的最小值时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最小化的损失函数和模型参数值。
（4）如果我们需要求解损失函数的最大值，可通过梯度上升法来迭代。梯度下降法和梯度上升法可相互转换。
（5）在机器学习中，梯度下降法主要有随机梯度下降法和批量梯度下降法。
2、梯度下降法缺点
梯度下降法缺点有以下几点：
（1）靠近极小值时收敛速度减慢。
（2）直线搜索时可能会产生一些问题。
（3）可能会“之字形”地下降。
梯度概念也有需注意的地方：
（1）梯度是一个向量，即有方向有大小。
（2）梯度的方向是最大方向导数的方向。
（3）梯度的值是最大方向导数的值。
3、梯度下降法直观理解
梯度下降法经典图示如下图所示：
形象化举例，由上图所示，假如最开始，我们在一座大山上的某处位置，因为到处都是陌生的，不知道下山的路，所以只能摸索着根据直觉，走一步算一步，在此过程中，每走到一个位置的时候，都会求解当前位置的梯度，沿着梯度的负方向，也就是当前最陡峭的位置向下走一步，然后继续求解当前位置梯度，向这一步所在位置沿着最陡峭最易下山的位置走一步。不断循环求梯度，就这样一步步地走下去，一直走到我们觉得已经到了山脚。当然这样走下去，有可能我们不能走到山脚，而是到了某一个局部的山势低处。 由此，从上面的解释可以看出，梯度下降不一定能够找到全局的最优解，有可能是一个局部的最优解。当然，如果损失函数是凸函数，梯度下降法得到的解就一定是全局最优解。
核心思想归纳：
（1）初始化参数，随机选取取值范围内的任意数；
（2）迭代操作： a）计算当前梯度； b）修改新的变量； c）计算朝最陡的下坡方向走一步； d）判断是否需要终止，如否，返回a）；
（3）得到全局最优解或者接近全局最优解。
4、梯度下降法算法描述
梯度下降法算法步骤如下：
（1）确定优化模型的假设函数及损失函数。 举例，对于线性回归，假设函数为：
$ h_\theta(x_1,x_2,...,x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\theta_nx_n $
其中，$\theta_i,x_i(i=0,1,2,...,n)$分别为模型参数、每个样本的特征值。 对于假设函数，损失函数为：
$J\left( {{\theta _0}{\rm{,}}{\theta _1}{\rm{,}} \cdots {\rm{,}}{\theta _{\rm{n}}}} \right) = \frac{1}{{2m}}{\sum\limits_{j = 0}^m {\left( {{h_\theta }\left( {x_0^{\left( j \right)}{\rm{,}}x_1^{\left( j \right)}{\rm{,}} \cdots {\rm{,}}x_n^{\left( j \right)}} \right) - {y^{\left( j \right)}}} \right)} ^2}$
（2）相关参数初始化。 主要初始化${\theta}_i$、算法迭代步长${\alpha} $、终止距离${\zeta} $。初始化时可以根据经验初始化，即${\theta} $初始化为0，步长${\alpha} $初始化为1。当前步长记为${\varphi}_i $。当然，也可随机初始化。
（3）迭代计算。
1）计算当前位置时损失函数的梯度，对${\theta}_i $，其梯度表示为：
$\frac{\partial }{{\partial \theta }}J\left( {{\theta _0}{\rm{,}}{\theta _1}{\rm{,}} \cdots {\rm{,}}{\theta _n}} \right) = \frac{1}{{2m}}{\sum\limits_{j = 0}^m {\left( {{h_\theta }\left( {x_0^{\left( j \right)}{\rm{,}}x_1^{\left( j \right)}{\rm{,}} \cdots {\rm{,}}x_n^{\left( j \right)}} \right) - {y^{\left( j \right)}}} \right)} ^2}$
2）计算当前位置下降的距离。
$ {\varphi}_i={\alpha} \frac{\partial}{\partial \theta_i}J({\theta}_0,{\theta}_1,...,{\theta}_n) $
3）判断是否终止。确定是否所有${\theta}_i$梯度下降的距离${\varphi}_i$都小于终止距离${\zeta}$，如果都小于${\zeta}$，则算法终止，当然的值即为最终结果，否则进入下一步。
4）更新所有的${\theta}_i$，更新后的表达式为：
$ {\theta}_i={\theta}_i-\alpha \frac{\partial}{\partial \theta_i}J({\theta}_0,{\theta}_1,...,{\theta}_n) $
$ {\theta _i} = {\theta _i} - \alpha \frac{1}{m}\sum\limits_{j = 0}^m {\left( {{h_\theta }\left( {x_0^{\left( j \right)}{\rm{,}}x_1^{\left( j \right)}{\rm{,}} \cdots {\rm{,}}x_n^{\left( j \right)}} \right) - {y^{\left( j \right)}}} \right)} x_i^{\left( j \right)}$
5）令上式$x^{(j)}_0=1$，更新完毕后转入1)。 由此，可看出，当前位置的梯度方向由所有样本决定，上式中 $\frac{1}{m}$、$\alpha \frac{1}{m}$ 的目的是为了便于理解。
5、如何对梯度下降法进行调优
实际使用梯度下降法时，各项参数指标不能一步就达到理想状态，对梯度下降法调优主要体现在以下几个方面：
（1）算法迭代步长$\alpha$选择。 在算法参数初始化时，有时根据经验将步长初始化为1。实际取值取决于数据样本。可以从大到小，多取一些值，分别运行算法看迭代效果，如果损失函数在变小，则取值有效。如果取值无效，说明要增大步长。但步长太大，有时会导致迭代速度过快，错过最优解。步长太小，迭代速度慢，算法运行时间长。
（2）参数的初始值选择。 初始值不同，获得的最小值也有可能不同，梯度下降有可能得到的是局部最小值。如果损失函数是凸函数，则一定是最优解。由于有局部最优解的风险，需要多次用不同初始值运行算法，关键损失函数的最小值，选择损失函数最小化的初值。
（3）标准化处理。 由于样本不同，特征取值范围也不同，导致迭代速度慢。为了减少特征取值的影响，可对特征数据标准化，使新期望为0，新方差为1，可节省算法运行时间。
6、随机梯度和批量梯度区别
随机梯度下降（SDG）和批量梯度下降（BDG）是两种主要梯度下降法，其目的是增加某些限制来加速运算求解。 下面通过介绍两种梯度下降法的求解思路，对其进行比较。 假设函数为：
$ h_\theta (x_0,x_1,...,x_3) = \theta_0 x_0 + \theta_1 x_1 + ... + \theta_n x_n $
损失函数为：
$ J(\theta_0, \theta_1, ... , \theta_n) = \frac{1}{2m} \sum\limits_{j = 0}^m(h\theta (x^{(j)}_0 ,x^{(j)}_1,...,x^{(j)}_n)-y^{(j)})^2 $
其中，$m$为样本个数，$j$为参数个数。
1)、 批量梯度下降的求解思路如下：
a) 得到每个$ \theta $对应的梯度：
$ \frac{\partial}{\partial \theta_i}J({\theta}_0,{\theta}_1,...,{\theta}_n)=\frac{1}{m}\sum\limits_{j = 0}^m(h\theta (x^{(j)}_0 ,x^{(j)}_1,...,x^{(j)}_n)-y^{(j)})x^{(j)}_i $
b) 由于是求最小化风险函数，所以按每个参数 $ \theta $ 的梯度负方向更新 $ \theta_i $ ：
$ \theta_i=\theta_i - \frac{1}{m} \sum\limits_{j = 0}^m(h\theta (x^{(j)}_0 ,x^{(j)}_1,...,x^{(j)}_n)-y^{(j)})x^{(j)}_i $
c) 从上式可以注意到，它得到的虽然是一个全局最优解，但每迭代一步，都要用到训练集所有的数据，如果样本数据很大，这种方法迭代速度就很慢。 相比而言，随机梯度下降可避免这种问题。
2)、随机梯度下降的求解思路如下：
a) 相比批量梯度下降对应所有的训练样本，随机梯度下降法中损失函数对应的是训练集中每个样本的粒度。 损失函数可以写成如下这种形式，
$ J(\theta_0, \theta_1, ... , \theta_n) = \frac{1}{m}\sum\limits_{j = 0}^m(y^{(j)} - h\theta (x^{(j)}_0 ,x^{(j)}_1,...,x^{(j)}_n))^2 = \frac{1}{m} \sum\limits_{j = 0}^m cost(\theta,(x^{(j)},y^{(j)})) $
b）对每个参数 $ \theta$ 按梯度方向更新 $ \theta$：
$ \theta_i = \theta_i + (y^{(j)}- h\theta (x^{(j)}_0, x^{(j)}_1, ... ,x^{(j)}_n)) $
c) 随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次。 随机梯度下降伴随的一个问题是噪音较批量梯度下降要多，使得随机梯度下降并不是每次迭代都向着整体最优化方向。
小结： 随机梯度下降法、批量梯度下降法相对来说都比较极端，简单对比如下：
批量梯度下降: a）采用所有数据来梯度下降。 b）批量梯度下降法在样本量很大的时候，训练速度慢。
随机梯度下降: a）随机梯度下降用一个样本来梯度下降。 b）训练速度很快。 c）随机梯度下降法仅仅用一个样本决定梯度方向，导致解有可能不是全局最优。 d）收敛速度来说，随机梯度下降法一次迭代一个样本，导致迭代方向变化很大，不能很快的收敛到局部最优解。
下面介绍能结合两种方法优点的小批量梯度下降法。
3)、小批量（Mini-Batch）梯度下降的求解思路如下:
对于总数为$m$个样本的数据，根据样本的数据，选取其中的$n(1< n< m)$个子样本来迭代。其参数$\theta$按梯度方向更新$\theta_i$公式如下：
${\theta _i} = {\theta _i} - \alpha \sum\limits_{j = t}^{t + n - 1} {\left( {{h_\theta }\left( {x_0^{\left( j \right)}{\rm{,}}x_1^{\left( j \right)}{\rm{,}} \cdots {\rm{,}}x_n^{\left( j \right)}} \right) - {y^{\left( j \right)}}} \right)} x_i^{\left( j \right)}$
7、各种梯度下降法性能比较
下表简单对比随机梯度下降（SGD）、批量梯度下降（BGD）、小批量梯度下降（Mini-batch GD）、和Online GD的区别：
BGD、SGD、Mini-batch GD，前面均已讨论过，这里介绍一下Online GD。
Online GD于Mini-batch GD/SGD的区别在于，所有训练数据只用一次，然后丢弃。这样做的优点在于可预测最终模型的变化趋势。
Online GD在互联网领域用的较多，比如搜索广告的点击率（CTR）预估模型，网民的点击行为会随着时间改变。用普通的BGD算法（每天更新一次）一方面耗时较长（需要对所有历史数据重新训练）；另一方面，无法及时反馈用户的点击行为迁移。而Online GD算法可以实时的依据网民的点击行为进行迁移。
