【数学】【AOJ-194】猴子分桃

Description

老猴子辛苦了一辈子，给那群小猴子们留下了一笔巨大的财富——一大堆桃子。老猴子决定把这些桃子分给小猴子。

第一个猴子来了，它把桃子分成五堆，五堆一样多，但还多出一个。它把剩下的一个留给老猴子，自己拿走其中的一堆。

第一个猴子来了，它把桃子分成五堆，五堆一样多，但又多出一个。它把多出的一个留给老猴子，自己拿走其中的一堆。

后来的小猴子都如此照办。最后剩下的桃子全部留给老猴子。

这里有n只小猴子，请你写个程序计算一下在开始时至少有多少个桃子，以及最后老猴子最少能得到几个桃子。

 

Input

输入包括多组测试数据。
每组测试数据包括一个整数n(1≤n≤20)。
输入以0结束，该行不做处理。

 

Output

每组测试数据对应一行输出。
包括两个整数a，b。
分别代表开始时最小需要的桃子数，和结束后老猴子最少能得到的桃子数。

 

Sample Input

5
1
0

 

Sample Output

3121 1025
1 1

 

 

思路：

假设有5只猴子的时候设这堆桃子至少有x个，借给它们4个，成为x+4个。5个猴子分别拿了a,b,c,d,e个桃子（其中包括吃掉的一个桃子），则可得

a=(x+4)/5,b=4(x+4)/25,c=16(x+4)/125,d=64(x+4)/625,e=256(x+4)/3125   

e应为整数，而256不能被5整除，所以（x+4)应该是3125的倍数，所以（x+4)=3125k(k为自然数）。当k =1时，x=3121

所以，5个猴子至少摘了3121个桃子

 

推广到n只猴子就是x=5^n-4 再根据x倒推老猴子的桃子数

 

参考代码：

#include <stdio.h> 
long long pow(int n)//求5^n 
{ 
    long long int sum=1; 
    int i; 
    for(i=0;i<n;i++) 
        sum*=5; 
    return sum; 
} 
long long pow_f(long long n,int m)//求n*(4/5)^m 
{ 
  
    int i; 
    for(i=0;i<m;i++) 
        n=n/5*4; 
    return n; 
} 
int main() 
{ 
    long long m,num; 
    int n; 
    while(scanf("%d",&n)&&n) 
    { 
        m=pow(n)-4;//求出总桃子 
        num=pow_f(m,n)+n;//求出老猴子得到的桃子 
        printf("%lld %lld\n",m,num); 
    } 
    return 0; 
  
}