聪明的质检员
聪明的质检员clever.pas
【问题描述】
小 T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有n个矿石，从1到n逐一编号，每个矿石都有自己的重量wi以及价值vi。检验矿产的流程是：
1、给定m个区间[Li，Ri]；
2、选出一个参数W；
3、对于一个区间[Li，Ri]，计算矿石在这个区间上的检验值Yi：
Yi = ∑1*∑vj，j∈[Li, Ri]且wj ≥ W，j是矿石编号
这批矿产的检验结果Y 为各个区间的检验值之和。即：Y = ∑Yi，i ∈[1, m]
若这批矿产的检验结果与所给标准值S相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数W的值，让检验结果尽可能的靠近标准值S，即使得S-Y的绝对值最小。请你帮忙求出这个最小值。
【输入格式】clever.in
第一行包含三个整数n，m，S，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。
接下来的n行，每行2个整数，中间用空格隔开，第i+1行表示i号矿石的重量wi和价值vi 。
接下来的m行，表示区间，每行2个整数，中间用空格隔开，第i+n+1行表示区间[Li,Ri]的两个端点Li和Ri。注意：不同区间可能重合或相互重叠。
【输出格式】clever.out
输出只有一行，包含一个整数，表示所求的最小值。
【样例输入】
5 3 15
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
1 5
2 4
3 3
【样例输出】
10
【样例说明】
样例说明：当W选4的时候，三个区间上检验值分别为20、5、0，这批矿产的检验结果为25，此时与标准值S相差最小为10。
对于10%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 10；
对于30%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 500；
对于50%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 5,000；
对于70%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 10,000；
对于100%的数据，有1 ≤ n，m ≤ 200,000，0 < wi, vi ≤ 10^6，0 < S ≤ 10^12，1 ≤ Li ≤ Ri ≤ n。
【问题分析】
首先我们来考虑一下这个W的值的范围，很显然当W的值取为min(wi)时，不管是哪个区域所有的矿石都会被检测，w的值再小于这个值效果也是这样的，所以我们可以确定wL的值为min(wi)；而当W的值取max(wi)+1时，所有的矿石都不能被检测，W的值再大于这个值效果也是这样，所以我们可以确定wR的值为max(wi) + 1；
有了W的这个取值范围后，可们可以枚举所有W的可能，计算出每种可能的检验值之和，找到其与标准值S最小差值的那个。但这个枚举量实在太大，所以这种方法可能但不可行。我们再来看看W取值变化时检测值Y的变化情况：
很显然当W的值取wL时，此时所有的矿石都会被检验，所以得到的Y值应该是最大，而随着W取值的增大，一部分矿石将不会被检验到，所以Y的值会不断地减小，当W取wR时，此时所有的矿石都不会被检验，所以此时Y=0为最小。这样我们就可以得到一个结论：当wX < wY时，则Y(wX) >=Y(wY)。根据这个变化规则，我们就可以二分获得W的值，从而来计算相应Y的值，若Y的值小于标准差，则W的值减小，即wR = W – 1；否则wL = W + 1。
这部分的代码可以写成：
Begin
readln(n, m, s);
readln(d[1, 1], d[1, 2]);
wL := d[1, 1]; wR := d[1, 1];
For I := 2 to n do begin
readln(d[I, 1], d[I, 2]);
if wL > d[I, 1] then wL := d[I, 1];
if wR < d[I, 1] then wR := d[I, 1];
end;
while wL <= wR do begin
W := (wL + wR) shr 1;
T := check(W);
If T < s then wR := W – 1
Else if T > s then wL := W + 1;
If min > abs(T – s) then min := T-s;
If min = 0 then break;
end;
writeln(min);
End.
而对于检验函数check，我们来看看它一般过过程：
Function check(x : longint) : int64;
Var
Y, T, v : int64;
I, j : longint;
Begin
Y := 0;
For I := 1 to m do begin
For j := L[i] to R[i] do
if a[j, 1] >= x then begin
inc(t); inc(v, a[j, 2]);
End;
Inc(Y, t * v);
End;
Check := Y;
End;
由于这部分是双重循环完成，每个区域的1 ≤ Li ≤ Ri ≤ n，所以时间复杂度约为O(mn)，显然会超时的。
需要对这部分代码进行优化处理：由题我们知道，区间[Li, Ri]是连续的一段，若我们能预先计算出从1到i（i<=n）所有满足条件（即矿石的重量大于等于W）的价值和和数量和，那只需要用O(1)的算法即可计算每个区间的价值和和数量和了。
令t[i]表示1到i满足条件的矿石个数；V[i]表示1到i满足条件的矿石价值和。则有区间[Li, Ri]的检验值为：(t[Ri] – t[Li – 1]) * (V[Ri] – V[Li – 1])。这样把上面的check函数可以优化成：
Function check(x : longint) : int64;
Var
Y: int64;
V, T : array[0..maxN] of int64;
I, j : longint;
Begin
Fillchar(v, sizeof(v), 0);
Fillchar(t, sizeof(t), 0);
//预处理
For I := 1 to n do begin
V[i] := v[I – 1];
T[i] := t[I – 1];
if a[I, 1] >= x then begin
inc(v[i], a[I, 2]); inc(t[i]);
end;
Y := 0;
For I := 1 to m do
Inc(Y, (t[R[i]] – t[L[i] – 1]) * (V[R[i]] – V[L[i] – 1]));
end;
Check := Y;
End;
