求三角形面积
设$BC$之高为$h$,$h$与$BC$的交点为$H$。
根据正弦函数,可知
$\sin\alpha=\frac{h}{AC}=\frac{h}{30}$
$\sin2\alpha=\frac{h}{AB}=\frac{h}{18}$
$h=18\sin2\alpha=30\sin\alpha$
∵ $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
∴ $\frac{h}{18}=2·\frac{h}{30}·\cos\alpha$
∴ $\cos\alpha=\frac{5}{6}$
∵ $\sin^2+\cos^2=1$
∴ $\sin\alpha=\sqrt{1-cos^2\alpha}=\sqrt{1-{\frac{5}{6}}^2 }= \sqrt{\frac{11}{36}}=\frac{\sqrt{11}}{6}$
∴ $h= 30\sin\alpha=30·\frac{\sqrt{11}}{6} = 5\sqrt{11}$
∴ $\sin2\alpha=\frac{h}{18}=\frac{5\sqrt{11}}{18}$
∴ $\cos2\alpha=\sqrt{1-sin^2 2\alpha}=\sqrt{1-{\frac{5 \sqrt{11}}{18}}^2}=\frac{7}{18}$
可得:
$BH=AB\cos2\alpha=18\times\frac{7}{18}=7$
$HC=AC\cos\alpha=30\times\frac{5}{6}=25$
$BC=BH+HC=7+25=32$
∴ 三角形面积
$S=\frac{BC\times h}{2}=\frac{32\times5\sqrt{11}}{2}=80\sqrt{11}$
使用到的数学知识:
- 三角函数
- 三角函数公式
- 平方关系公式
- 二倍角公式
- 平方根乘除运算
- 三角形面积公式