【监督学习：线性回归和分类】2.多参数的回归

多维特征

对于一个线性回归来说，可能涉及的参数往往不止一个。
利用房价模型的例子，我们可能会用到房子的面积、房间数量、建造时间等多个特征来预测房价。

多维特征的表示

在多维特征的情况下，我们有以下表示方法
$n$：特征的数量
$x^{(i)}$：第$i$个训练样本，即特征矩阵的第$i$行，是一个向量
$x^{(i)}_j$：第$i$个训练样本的第$j$个特征，即特征矩阵的第$i$行第$j$列，是一个实数

多维特征的假设函数

对于多维特征的情况，我们的假设函数可以表示为

$$h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \cdots + \theta_nx_n$$

或写作

$$h_\theta(x) = \theta^Tx$$

其中，$x_0 = 1$，$\theta_0$是偏置项。

多变量梯度下降

算法目标

对于多维特征的情况，我们的目标是找到一组参数$\theta$，使得代价函数$J(\theta)$最小。

算法描述

多变量梯度下降算法描述如下：
原始形式：

$$\theta_j := \theta_j - \alpha\frac{\partial J(\theta_0, \theta_1, \cdots, \theta_n)}{\partial \theta_j}$$

带入代价函数：

$$\theta_j := \theta_j - \alpha\frac{1}{2m}\frac{\partial}{\partial \theta_j}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2$$

求导后：

$$\theta_j := \theta_j - \alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)}$$

梯度下降法的实践

特征缩放

在多维特征的情况下，我们需要对特征进行缩放，使得各个特征的取值范围相近，这样可以加快梯度下降的收敛速度。

在房屋价格的例子中，尺寸的取值范围可能是100-2000平方英尺，而卧室数量的取值范围可能是1-5间，绘制出的代价函数图像可能是一个很扁的碗状图，这样梯度下降的收敛速度会很慢。

特征缩放的方法

以特征值$x_1$为例，设$x_1$的取值范围为300-2000，可以使用的特征缩放方法有以下几种：

1. 将特征值除以最大值，使得特征值的范围在0-1之间

$$x_1' = \frac{x_1}{2000}$$

2. 均值归一化，将特征值减去均值，再除以最大值与最小值的差，使得特征值的范围在-1到1之间

$$x_1' = \frac{x_1 - \mu}{2000-300}$$

3. Z-score归一化，将特征值减去均值，再除以标准差，使得特征值的范围在-1到1之间

标准差：$\sigma = \sqrt{\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(x_i - \mu)^2}$

$$x_1' = \frac{x_1 - \mu}{\sigma}$$

学习率

收敛的判断

根据迭代次数和代价函数的值，可以绘制学习曲线。

如果梯度下降正确工作，则代价函数应该随着迭代次数的增加而减小，如果代价函数随着迭代次数的增加而增大，则可能是学习率$\alpha$过大导致的，此时需要减小学习率。

当代价函数的值几乎不再变化时，可以认为梯度下降已经收敛，此时可以停止迭代。

自动收敛

如果学习率$\alpha$设置得合理，梯度下降算法可以自动收敛，此时不需要手动设置迭代次数。
设置自动收敛的阈值$\epsilon$，当两次迭代的代价函数的差值小于$\epsilon$时，认为梯度下降已经收敛，此时可以停止迭代。

通常$\epsilon$的取值为$10^{-3}$、$10^{-6}$或$10^{-10}$

学习率的选择

梯度下降算法中每次迭代受到学习率$\alpha$的影响:

• 如果$\alpha$过小，则梯度下降收敛速度很慢
• 如果$\alpha$过大，则梯度下降可能不会收敛，甚至会发散

常用的学习率包括：
0.01、0.03、0.1、0.3、1、3、10

通过尝试不同的学习率，可以选择出合适的学习率。

特征工程和多项式回归

特征工程

特征工程是机器学习中非常重要的一部分，特征工程是利用相关知识来设计新特征，通过变化或者组合原有特征，使得特征更加适合机器学习算法。

以房价预测为例，我们可以通过房屋面积的长和宽来计算房屋面积，这样可以得到一个新的特征，即房屋面积。

设房屋面积为$x_1$，房间数量为$x_2$，则

$$f_1 = w_1 x_1 + w_2 x_2 + b\\ x_3 = x_1 x_2\\ f_2 = w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3 + b$$

多项式回归

在实际应用中，我们可能会遇到非线性的数据，此时可以使用多项式回归。

$$h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \theta_3x_1^2 + \theta_4x_2^2 + \theta_5x_1x_2 + \cdots$$

需要注意的是，多项式回归中的特征缩放非常重要，如果不进行特征缩放，可能会导致梯度下降收敛速度很慢。