递推法

概述

递推法是一种根据递推关系进行问题求解的方法，常用来进行序列计算
根据初始条件，按照一定的规律逐项进行计算，直到得到结果

递推法正推和逆推

正推
小规模问题的解递推到大规模问题的解
逆推
大规模问题的解递推到小规模问题的解

例题

猴子吃桃

题目：猴子每天吃一半多一个的桃子，第十天只有一个桃子，问原来有多少个。
分析：

a_{n} = {\begin{cases} 1 n = 10 \\ (a_{n} + 1) \times 2 n = 9, 8, 7, 6, . . ., 1 \end{cases}

$a_n=\begin{cases}1\quad n=10\\ (a_n+1)\times2\quad n=9,8,7,6,...,1\end{cases}$

int peach(int i){
    if(i==1)
        return 1;
    else
        return (peach(i-1)+1)*2;
}

斐波那契数列

题目：一对兔子放在围栏中，第二个月起，生一对兔子，新兔子下个月起生一对兔子，一年后有多少对兔子？

F_{n} = {\begin{cases} 1 n = 1, 2 \\ F_{n - 1} + F_{n - 2} n > 2 \end{cases}

$F_n=\begin{cases} 1 \quad n=1,2\\ F_{n-1}+F_{n-2} \quad n\gt 2 \end{cases}$

int Fib(int n)
{
    if(n==1||n==2)
        return 1;
    else
        return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}

错排问题

问题：n封信放进n个有地址的信封，全部放错的概率是？
分析：

信的数量	错排可能
1	0
2	1
n	$(n-1)\times F_{n-1}+F_{n-2}$

int epp(int n){
    if(n==1) return 0;
    if(n==2) return 1;
    else return (n-1)*(epp(n-1)+epp(n-2));
}

整数拆分

问题：对于大于2的整数，用2的整数次幂进行拆分，有多少种拆分方式？
分析：
2->(1,1),(2)
3->(1,1,1),(1,2)
4->(1,1,1,1),(1,1,2),(2,2),(4)
5->(1,1,1,1,1),(1,1,1,2),(1,2,2),(4,1)
6->(1,1,1,1,1,1),(1,1,1,1,2),(1,1,2,2),(1,1,4),(2,2,2),(2,4)

分析可知，当n为奇数时，和n-1数量一样；当n为偶数时，为n/2中所有元素翻倍以及n-1所有的元素补充上1；

int div(int n){
    if(n==1){
        return 1;
    }
    else if(n%2==0){
        return div(n/2)+div(n-1);
    }
    else{
        return div(n-1);
    }
}

杨辉三角

问题：杨辉三角是二项式展开的系数的三角形，打印n阶杨辉三角

分析：每行的开头和结束都是1，其余为上一行同一列和前一列的和；

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    int a[n][n];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            if(j==0||j==i)
                a[i][j]=1;
            else
                a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];
            cout<<a[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

乘法结合问题

问题：在其前后次序不变的情况下，每次只对两个元素进行乘法，以括号决定乘的先后顺序，有多少种不同的相乘方式？

分析：
括号匹配问题，将左括号看作入栈，右括号看作出栈，题目既有多少出栈顺序。计算catalan数即可

catalan数的通项公式为

$C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$ ，其中 $\binom{a}{b}$ 表示从a个元素中选取b个元素的组合数

递推公式为
$C_n = \sum_{k=0}^{n-1} C_k C_{n-1-k}, n > 0$

long long catalan(int n) {
    // 如果n为0或1，返回1
    if (n == 0 || n == 1) {
        return 1;
    }
    // 否则，根据递推方程计算并返回结果
    long long result = 0;
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        result += catalan(k) * catalan(n - 1 - k);
    }
    return result;
}

练习

- 问题：6人参加会议，入场是随意把帽子挂在衣架上，走的时候顺手拿一顶，问拿对的概率
- 分析：
  - 当5人拿对，只剩下一个帽子，此人拿对的概率是1；
  - 当4人拿对，只剩下2个帽子，2人拿对的概率是1/2；
  - ......
  - 第一人开始拿，此人拿对的概率是1/6
  - 通过递归计算
- 实现
```
double proba(double n){
    if(n==1) return 1;
    return (1/n)*proba(n-1);
}
```

问题：已知数列递推式： $a_1=1;a_{2i}=a_i+1,a_{2i+1}=a_i+a_{i+1}$ ,求第n项已经前n项最大值
分析：
- 使用数组实现递推，偶数位为i/2位的值+1，奇数为i/2位的值+i+1位的值；
- 过程中记录最大值，运算结束后输出；

实现：

int sl(int n, int &max) {
    int num[n+1]={0};
    num[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (i % 2 == 0) {
            num[i] = num[i/2]+1;
        } else {
            num[i] = num[i/2] + num[i/2+1];
        }
        if (num[i] > max) {
            max = num[i];
        }
    }
    return num[n];
}

- 问题：一只猴子要爬上30级台阶，一步可以跳1级或三级台阶，共有多少种跳法？
- 分析：若猴子当前在第n阶，则上一次可能在n-1阶或n-3阶，也就是说，到达第n阶的跳法f(n)=f(n-1)+f(n-3)
- 实现：
```
int mk(int n) {
    if (n==1||n==2)return 1;
    if (n==3)return 2;
    return mk(n-1)+mk(n-3);
}
```

问题：假设核反应堆有α和β两种粒子，每秒钟一个α可以分裂为3个β，一个β可以分裂为1个α和两个β。t=0时只有一个α，t秒的时候有多少α和多少β？
分析：建立两个数组，依次计算

实现：

void particle(int t,int &alphas,int &betas) {
    int alpha[t]={0};
    int beta[t]={0};
    alpha[0]=1;
    for (int i = 1; i <= t; i++)
    {
        beta[i]=alpha[i-1]*3+beta[i-1]*2;
        alpha[i]=beta[i-1];
    }
    alphas=alpha[t];
    betas=beta[t];
}

问题：设x和y为非负整数，对集合 $\{2^x3^y|x\geqslant0,y\geqslant0\}$ ,求集合中小于整数n的元素个数，并求元素从小到大的排序的第m项元素
分析：找到由1到n遍历，对2和3连续除，若结果为1，则表示该数为2和3的倍数（符合条件）
实现：

int main()
{
    int n,m;
    while(cin>>n>>m)
    {
        int a[100001];
        int k=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int temp=i;
            while(temp%2==0)
                temp/=2;
            while(temp%3==0)
                temp/=3;
            if(temp==1)
                a[++k]=i;
        }
        cout<<k<<endl<<a[m]<<endl;
    }
}

- 题目： $2\times n$ 的长方形，用若干个 $1\times 2$ 的骨牌铺满， $n=3$ 时铺满方格共有3种方法，求对于给定的n，有多少种铺法？
- 分析：
  - 当 $n=1$ 时，只有一种铺法，即 $f(1)=1$ ；
  - 当 $n=2$ 时，有两种铺法，即 $f(2)=2$ 。
  - 当 $n>2$ 时，我们可以考虑最右边一列的情况
    - 如果最右边一列是竖着放一个骨牌，则剩下的部分是一个 $2\times (n-1)$ 的长方形方格，有 $f(n-1)$ 种铺法；
    - 如果最右边一列是横着放两个骨牌，则剩下的部分是一个 $2\times (n-2)$ 的长方形方格，有 $f(n-2)$ 种铺法。
  - 因此，我们可以得到递推公式： $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$
- 实现：
```
    int domino(int n) {
        if (n==1)return 1;
        if (n==2)return 2;
        return domino(n-1)+domino(n-2);
    }
```