低价购买 （动态规划，变种最长下降子序列（LIS））
题目描述
“低价购买”这条建议是在奶牛股票市场取得成功的一半规则。要想被认为是伟大的投资者，你必须遵循以下的问题建议:“低价购买；再低价购买”。每次你购买一支股票,你必须用低于你上次购买它的价格购买它。买的次数越多越好!你的目标是在遵循以上建议的前提下，求你最多能购买股票的次数。你将被给出一段时间内一支股票每天的出售价(216范围内的正整数)，你可以选择在哪些天购买这支股票。每次购买都必须遵循“低价购买；再低价购买”的原则。写一个程序计算最大购买次数。
这里是某支股票的价格清单：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87
最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是：
日期 2 5 6 10
价格 69 68 64 62
输入
第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数
第2行: N个数，是每天的股票价格。
输出
输出仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=231)当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方案被认为是相同的。
样例输入
12 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87
样例输出
4 2
这题的第一个输出很简单，就是求下最长下降子序列（LIS）的长度，关键在第二问，求出最长下降子序列的个数。
仔细读题，题目中说“当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方案被认为是相同的。”
举这个例子一共5个数 2 1 1 1 1。这样的最长下降子序列只有一个“2 1”（因为所有的“2 1”认为是同一种情况）。
代码如下：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int a[5500],dp[5500],cnt[5500],n;//dp[i]表示以第i位截止的数列的最长下降子序列（LIS）长度。 4 //cnt[i]表示到第i位，长度为dp[i]的LIS有几个（下面会去重）。 5 int main() 6 { 7 //freopen("de.txt","r",stdin); 8 while (~scanf("%d",&n)) 9 { 10 int ans=0; 11 for (int i=1;i<=n;++i) 12 scanf("%d",&a[i]); 13 memset(dp,0,sizeof dp); 14 memset(cnt,0,sizeof cnt); 15 for (int i=1;i<=n;++i)//n^2复杂度求LIS 16 { 17 dp[i]=1; 18 for (int j=1;j<i;++j) 19 { 20 if (a[j]>a[i]) 21 dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1); 22 } 23 ans=max(dp[i],ans); 24 } 25 for (int i=1;i<=n;++i)//处理符合最长下降子序列长度的数列个数 26 { 27 for (int j=1;j<i;++j) 28 { 29 if (a[j]>a[i]&&dp[j]+1==dp[i]) 30 cnt[i]+=cnt[j]; 31 if (dp[i]==dp[j]&&a[i]==a[j])//题目说“看起来一样”就算是一样，此时dp[i]=dp[j]&&a[i]=a[j] 32 //这两种情况完全一样，所以在这里对i位以前的j位进行清零 33 cnt[j]=0; 34 } 35 if (dp[i]==1) 36 cnt[i]=1; 37 } 38 int sum=0; 39 for (int i=1;i<=n;++i) 40 { 41 if (dp[i]==ans) 42 sum+=cnt[i]; 43 } 44 printf("%d %d\n",ans,sum); 45 } 46 return 0; 47 } 48 /* 49 Time:208 ms 50 Memory:1760 kb 51 */
这道题求LIS时复杂度是n^2，最快的方法是nlogn，但是nlogn算法的dp[i]的意义就大不一样了。这个n^2的算法还可以对第二问的思路进行辅助。
