牛客周赛46（已补）
比赛链接：牛客周赛46
赛时感受
本场参加的是内测，多亏了内测群的佬提供的思路，得以AK。
ABC都是简单的签到题，D稍微需要分类一下，EF有点算法知识，E可以使用前缀和+二分搜索过掉，但是听说好像还能使用离散化树状数组等等，F是数学知识，隔板法和求质数、求组合。
一开始脑袋懵了，以为C题的数据太大暴力过不了，转去写欧拉筛求质数妄图通过质数求出x的小于n的因子个数，后面发现更难处理了，后面突然想起直接对x暴力求解是O(n½)的时间复杂度，然后直接暴力过掉。F题思考了很久，最开始连暴力的思路也没有，后面求出了x可以拆出来的质数个数，本来想对每个位置求组合，但是对于x = 4, y = 3，x = 2 * 2，可能第一个乘数排列得到第一个2，第二个乘数可能排列得到第二个2，但是同样可能第一个乘数排列取到第二个2，第二个乘数排列取到第一个2，但是此时两种情况是相同的，重复计算了同一种情况，一直卡在这个点，还是数学薄弱了，最后是群里的佬说可以用隔板法才反应过来。
A
思路
在有热的抹茶的时候先吃热抹茶，再吃冰抹茶，当冰抹茶吃完但是热抹茶还有时，需要判断当前还能吃热抹茶吗，若热抹茶吃完了病抹茶还没吃完，就直接吃掉剩下所有的冰抹茶。
题解
# python
s = list(map(int, input().split()))
if s[0] > s[1] * 2:
print(s[1] + s[0])
else :
print(s[0] + s[0] // 2)
B
思路
将输入的第x种茶的美味值赋值为0，然后对没位置数组进行排序，计算没位置最大的茶的种数就可以知道有多少种红茶可以选择了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e5 + 10;
ll a[N];
int main() {
int n, x;
cin >> n >> x;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
}
a[x] = 0;
sort(a + 1, a + 1 + n);
int i = n;
while (i >= 1) {
if (a[i] == a[i - 1]) {
i--;
} else {
break;
}
}
cout << n - i + 1 << endl;
return 0;
}
C
思路
因为改变第i个灯的开关状态会改变所有编号为i倍数的灯的开关状态，所以需要计算小于n的x的因数个数，当因数个数为奇数时，第x个灯是开着的，否则为关闭的。
暴力枚举：暴力枚举x的因数，枚举到sqrt(x)为止，大于sqrt(x)的因数可以使用x / (小于sqrt(x)的因数)计算得出，同时还需要判断得到的因数是否小于n，注意当当前枚举的元素大于n时就可以退出循环，因为后边枚举的因数不可能会小于n。在枚举时还可能遇到sqrt(x)为整数的情况需要判断枚举的因数是否等于x / (小于sqrt(x)的因数)，若相等的话只能视为同一个因数。
题解
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e6 + 10;
int main() {
ll n, x, ans = 0;
cin >> n >> x;
for (int i = 1; i <= x / i; i++) {
if (x % i == 0 && i <= n) {
ans++;
if (i != (x / i) && x % (x / i) == 0 && (x / i) <= n) {
ans++;
}
}
}
cout << (ans % 2 == 0 ? "OFF" : "ON") << endl;
return 0;
}
D
思路
本题为简单分类题，通过对三个数的其中两个进行mex()操作，并将结果赋值给第三个数。mex()是计算出在括号中没有出现过的最小非负整数，如：mex(0, 2) = 1， mex(2 , 5) = 0。
由于参与mex()运算的数字只有两个，能得到的结果为0，1，2。根据各种情况分类讨论即，由分析可得，k > 2时，若输入的三个数中没有等于k的数字则，k不可能通过mex()计算得到，其他的情况则可以通过推断得出。
题解
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e5 + 10;
int main() {
int t;
cin >> t;
while (t--) {
ll a[4], k;
cin >> a[1] >> a[2] >> a[3] >> k;
{
sort(a + 1, a + 4);
if (a[1] == k || a[2] == k || a[3] == k) {
cout << 0 << endl;
}
else if (k == 0) {
cout << 1 << endl;
}
else if (k == 1) {
if (a[1] == 0 && (a[2] != 1 || a[3] != 1)) {
cout << 1 << endl;
}
else {
cout << 2 << endl;
}
}
else if (k == 2) {
if (a[1] == 0 && (a[2] == 1 || a[3] == 1)) {
cout << 1 << endl;
}
else if (a[1] == 0) {
cout << 2 << endl;
}
else if (a[1] == 1) {
cout << 2 << endl;
}
else {
cout << 3 << endl;
}
}
else {
cout << -1 << endl;
}
}
}
return 0;
}
E
思路
每天都能吃任意数量的猫粮，同一种猫粮他一天只会吃一次，求最大的营养值，所以贪心每天把能吃的猫粮全部吃一遍。
二分查找和结果计算：按猫粮的数量对猫粮进行从小到大的排序，然后二分找出数量小于k的数量最多的猫粮下标。找出数量小于等于k的数量最多的猫粮下标时，直接把这些数量小于等于k的猫粮的营养值之和加到结果上，剩下的猫粮的数量都是大于k的，所以每种猫粮按k天的分量计算也加到结果上，最后得出答案数量小于等于k的各种猫粮所有营养值之和 + 数量大于等于k的各种猫粮每天的分量之和 * k天。
时间复杂度前缀和优化：由于需要询问q次，所以若每一次都是二分完再去对答案进行o(n)的加法操作，则会出现1e5 * 1e5的时间复杂度，此时还没有包括二分查询的时间复杂度，肯定会超时，所以在查询前可以使用一次前缀和优化，减少计算答案时的加法操作，变成o(1)的查询，此时的时间复杂度为前缀和的预处理o(n) + sort排序o(log(n)) + 二分查找q次o(q * log(n)) = o(q * log(n))，满足题目要求的时间复杂度。
题解
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e5 + 10;
struct p {
int a, b;
}food[N];
bool cmp(struct p x, struct p y) {
return x.b < y.b;
}
ll all_sum[N], sum[N];
int main() {
int n;
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> food[i].a;
}
for (int j = 1; j <= n; j++) {
cin >> food[j].b;
}
sort(food + 1, food + 1 + n, cmp);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
all_sum[i] = food[i].a * food[i].b + all_sum[i - 1];
sum[i] = food[i].a + sum[i - 1];
}
int q;
cin >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ll l = 1, r = n, res = 0, mid;
int k;
cin >> k;
while (l <= r) {
mid = (l + r) >> 1;
if (food[mid].b <= k) {
res = mid;
l = mid + 1;
}
else {
r = mid - 1;
}
}
cout << all_sum[res] + (sum[n] - sum[res]) * k << endl;
}
return 0;
}
F
思路
F题是数学题，对每个x拆成y个正整数的乘积，很快就会想到要求出x的质因子个数。因为有t次询问，所以需要在询问之前进行一次初始化，查出小于sqrt(1e9)的所有质数，使用欧拉筛prime()。
只需要查出小于sqrt(1e9)的质数是因为需要分解的数字的数据范围为1e9，是因为所有正整数都能写成若干个质数相乘的形式，每个正整数最多只能有一个大于sqrt(本身)的质因子，若有两个或者以上，他们相乘肯定会大于sqrt(本身) * sqrt(本身) = 本身，所以不合理，对于这个可能出现的大于sqrt(本身)的质因子，只需要到时候特判处理就行。
质因子分解：此时对每个询问的数字进行质因子分解，使用初始化时求出的isprime质数数组进行分解，最后所有已知的质因子都被判断了之后，若此时的x还是大于1，则此时的x就是大于sqrt(输入的原x)的质因子。
隔板法：现在对每个质因子的个数使用隔板法计算结果，现有ans个相同质因子（如：2），需要将这些质因子放到y个位置里，使得每种情况都不一样，求出各种情况的种数。所以可以视为在ans个因子中插入y - 1个隔板分成了y份，同样可以视为现有ans + y - 1个位置，从ans + y - 1个位置里组合y - 1个位置放隔板把ans个因子分成y份。
组合数：所以现在就是求组合数的问题，这里使用逆元求组合数，使用费马小定理求除组合数，但是这里还有一个细节，这里的ans是两位数以内，y - 1会是八位数以内，若求C(ans + y - 1, y - 1)，则可能会超时因为需要求(y - 1)!，但是C(ans + y - 1, y - 1) = C(ans + y - 1, ans)，直接求C(ans + y - 1, ans)就不会超时了。
再将其他质因子对每种质因子也同样求出各种情况的种数，最后将这些种数相乘就是答案。
题解
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e5 + 10;
const ll mod = 1e9 + 7;
bool vis[N];
int isprime[N];
void prime() {
for (int i = 2; i <= 5e4; i++) {
if (vis[i] == false) isprime[++isprime[0]] = i;
for (int j = 1; j <= isprime[0] && i * isprime[j] <= 5e4; j++) {
vis[i * isprime[j]] = true;
if (i % isprime[j] == 0) break;
}
}
}
ll qsm(ll x, ll y) {
ll res = 1;
while (y) {
if (y & 1) {
res *= x;
res %= mod;
}
x *= x;
y >>= 1;
x %= mod;
}
return res;
}
ll inverse(ll x) {
return qsm(x, mod - 2);
}
ll c(ll n, ll m) {
ll res = 1;
for (ll i = n; i > (n - m); i--) {
res *= i;
res %= mod;
}
ll x = 1;
for (ll i = 1; i <= m; i++) {
x *= i;
x %= mod;
}
res *= inverse(x);
return res % mod;
}
int main() {
int t;
cin >> t;
prime();
while (t--) {
ll x, y, ans = 0, res = 1;
cin >> x >> y;
for (int i = 1; i <= isprime[0]; i++) {
if (isprime[i] > x) break;
if (x % isprime[i] == 0) {
while (x % isprime[i] == 0) {
x /= isprime[i];
ans++;
}
}
if (ans == 0) continue;
res *= c(ans + y - 1, ans);
res %= mod;
ans = 0;
}
if (x > 1) {
res *= y;
res %= mod;
}
cout << res << endl;
}
return 0;
}
