解题思路之树型结构

有一类求一组解，或者求全部解，或者求最优解的问题，可以利用 “试探”和“回溯”的搜索技术来求解。

例如：求含n个元素的集合的幂集合（全集）

解法一：“分治法”进行“递归算法设计”，

   递归规定义：基本项（终结状态） + 归纳项（如何从当前状态转化到终结状态，也就是原问题和子问题之间的转化）

递归设计的实质：当一个复杂的问题可以分解为若干子问题来处理时，其中某些子问题和原问题有相同的特征属性，则可以利用和源问题相同的分析处理方法。（例如汉诺塔的问题中，可以分解为3个子问题，（1）将编号为1至n-1的n-1个圆盘从X塔座移到Y塔座；（2）将编号为n的圆盘从X塔座移到Z塔座（3）将编号为1至n-1的圆盘从Y塔座移到Z塔座。

    关于“树”的问题，我们很容易会想到用“递归”，如果其他结构的数据类型也可以用“树”的角度去思考的话那可能会很容易找到问题的解答思路。

   例如求A={1,2,3}的幂集 即p(A)={{1,2,3},{1,2},{1,3},{2,3},{1},{2},{3},Φ};

   如果我们用树的角度去思考这个问题，那我们得到的会是（这里默认最底层节点为空集Φ）

                                 

    这属于分治法进行递归设计，我们每次都需要将原问题分为 即n个子问题（其中n表示原问题集合的元素个数，r表示每个子问题集合的元素个数，根据这里的情况r取n-1），而在递归终止情况，即子问题所含的元素个数为1时，会出现多个等价的子问题。

     而从另一个角度来看这个问题，幂集中的每个元素是一个集合，它可以是空集，也可以是包含A中一个元素的集合，也可以是两个，三个，最后等于集合A本身。所以从集合A的每个元素来看，它只有两个状态：它或者属于幂集的元素集，或者不属于幂集的元素集，所以求A的幂集就可以看成是依次对A中的元素进行“取”或者“舍”。

    我们同样用树型结构来表达这一思路，并最终在树形结构上完成幂集的求解，假设初始化时树只有一个根节点，节点内容为空，表示Φ（这个集合时所有集合的幂集所包含的）。然后我们对集合A中的元素依次进行取舍操作，“取“操作表示将元素连接到原节点的左分支，”舍“操作则保留原节点内容并作为其右分支，最后我们可以生成下面这样的树：

                                      

所以求幂集的过程也就是对这颗状态树进行先序遍历

Void PowSet(int I, int n)

{

  If( i> n) {输出一个集合，其元素为集合A中的元素，即输出A的幂集的一个元素}

  Else

{

  取得A集合中的第i个元素，也就是向树的左边走

  PowerSet(i+1,n); //对树的左枝做同样操作

  舍弃A集合中的第i个元素，也就是向树的右边走

   PowerSet(i+1,n); //对树的右枝做同样操作

}

  

}

//具体实现

Void GetPowerSet(int i, List A, List B)

{

//用线性表A表示集合A,线性表B表示A的幂集的元素集合。

  If( i > ListLength(A) ) Output(B);

  Else

{ 

GetElem(A,i,x);       //将A集合中的第i个元素赋值给x

K = ListLength(B);        //得到当前B的长度

ListInsert(B,k+1,x);      // 进行取操作

GetPowerSet(i+1,A,B);

ListDelete(B,k+1,x);           //进行舍操作

GetPowerSet(i+1,A,B);

}

}

{reference：数据结构-严蔚敏

  author：aga j

}