算法导论-生日悖论

 

算法导论第五章讲到了生日悖论。

 

1、定义：生日悖论[1]是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日悖论， 在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。

它的计算方式是这样的： 
　　n个人可能的生日组合是365×365×365×……×365(共n个)个,记作a； 
　　n个人生日都不重复的组合是365×364×363×……×（366-n)个，记作b； 
　　所以n个人生日不重复的概率是b/a，则n个人生日重复的概率是1-b/a。 

     只要有23人在一起，其中两人生日相同的概率就达到51%！

 

具体细节维基百科[1]有分析。

 

生日悖论的本质就是，随着元素增多，出现重复元素的概率会以惊人速度增长，而我们低估了它的速度[2]。

2、推广：

     a.一个房间要有多少人，才能让某人与你生日相同的概率至少为1/2？（习题5.4-1）

　　　　答：至少要253个，见维基百科。

     b.一个聚会需要邀请多少人，才能让其中很可能有3个人的生日相同？（习题5.4-3）

3、相关

    a.你和朋友参加聚会，包括你们两人在内一共有10个人在场。 你朋友想跟你打赌，说这里没有一个人生日和你相同，你就给他1元， 没有一个人生日和        你不同，他给你2元。你会接受么?（坊间流传的google疯狂面试题）

        答：接收，跟你生日不相同人的概率远大于有一个人跟你生日相同的概率，算下来期望大于零。

    b.网上的一道推理题：小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是m月n日，2人都知道张老师的生日是下列10组中的一天，张老师把m值告诉了小明，把n值告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是那一天吗？

• 3月4日 3月5日 3月8日
• 6月4日 6月7日
• 9月1日 9月5日
• 12月1日 12月2日 12月8日
• 小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道
• 小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了
• 小明说：哦，那我也知道了

请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天？

          答：答案是9月1日，稍加推理就可。

4、参考：

1.维基百科-生日问题：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/生日悖论#.E5.AF.B9.E6.AD.A4.E6.82.96.E8.AE.BA.E7.9A.84.E8.A7.A3.E9.87.8A

2.科学松鼠会，生日悖论与生日攻击： http://songshuhui.net/archives/23737.html