筛法求素数
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一般求素数都是暴力求解,这样效率不高,今天就总结一下筛法求素数,这是一种较高效的算法,具体如下:
用筛法求素数的基本思想是:把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列, 1不是素数,首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数,然后去掉它的倍数。依次类推,直到筛子为空时结束。
用筛法求素数的基本思想是:把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列, 1不是素数,首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数,然后去掉它的倍数。依次类推,直到筛子为空时结束。如有:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1不是素数,去掉。剩下的数中2最小,是素数,去掉2的倍数,余下的数是:
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
剩下的数中3最小,是素数,去掉3的倍数,如此下去直到所有的数都被筛完,求出的素数为:
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
附上代码:
#include<stdio.h>
int main()
{
int i, j, a[1000];
a[0] = 0; a[1] = 0;
for (i = 2; i < 1000; i++)
a[i] = 1; //从2开始初值赋1,相当于true
for (i = 2; i < 1000; i++)
{
if (a[i])
for (j = i * 2; j < 1000; j += i)
a[j] = 0; //标记置0
}
}
下面的可以在线性时间内筛选
void Prime2() {
memset(a, 0, n*sizeof a[0]);
int num = 0, i, j;
for(i = 2; i < n; ++i) {
if(!(a[i])) p[num++] = i;
for(j = 0; (j<num && i*p[j]<n); ++j) {
a[i*p[j]] = 1;
if(!(i%p[j])) break;
}
}
}
然而发现还是有很多重复的,解决这个问题的诀窍是如何安排删除的次序,使得每一个非质数都只被删除一次。 中学时学过一个因式分解定理,他说任何一个非质(合)数都可以分解成质数的连乘积。例如,16=2^4,18=2 * 3^2,691488=2^5 * 3^2 * 7^4等。如果把因式分解中最小质数写在最左边,有16=4^2,18=2*9,691488=2^5 * 21609,;换句话说,把合数N写成N=p^k * q,此时q当然是大于p的,因为p是因式分解中最小的质数。由于因式分解的唯一性,任何一个合数N,写成N=p^k * q;的方式也是唯一的。 由于q>=p的关系,因此在删除非质数时,如果已知p是质数,可以先删除p^2,p^3,p^4,... ,再删除pq,p^2*q,p^3*q,...,(q是比p大而没有被删除的数),一直到pq>N为止。
因为每个非质数都只被删除一次,可想而知,这个程序的速度一定相当快。依据Gries与Misra的文章,线性的时间,也就是与N成正比的时间就足够了(此时要找出2N的质数)。 (摘自《C语言名题精选百则(技巧篇)》,冼镜光 编著,机械工业出版社,2005年7月第一版第一次印刷)。代码如下:
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
int N; cin>>N;
int *Location=new int[N+1];
for(int i=0;i!=N+1;++i)
Location[i]=i;
Location[1]=0; //筛除部分
int p,q,end;
end=sqrt((double)N)+1;
for(p=2;p!=end;++p)
{
if(Location[p])
{
for(q=p;p*q<=N;++q)
{
for(int k=p*q;k<=N;k*=p)
Location[k]=0;
}
}
}
int m=0;
for(int i=1;i!=N+1;++i)
{
if(Location[i]!=0)
{
cout<<Location[i]<<" ";
++m;
}
if(m%10==0) cout<<endl;
}
cout<<endl<<m<<endl;
return 0;
}