DP 优化 学习笔记

0 参考资料#

• DP 优化方法大杂烩 II. —— Alex_Wei

• 算法竞赛进阶指南 —— LYD

• XMOJ 倾情讲解 —— BYD

1 斜率优化#

1.1 斜率优化简介#

如果一类最优化问题的 dp 式可以被表示为 $f_i = \min / \max \{f_j + cosx_i + cosy_j + F_iF_j\}$，则它一般可以被斜率优化直接优化。

这里我们就以最小值为例。

1.2 决策点策略#

假设我们要计算 $f_p$。

我们考虑计算当决策点 $i < j$ 时，$i$ 比 $j$ 优秀的条件。

$$f_i + cosx_p + cosy_i + F_iF_p < f_j + cosx_p + cosy_j + F_jF_p$$

将式子进行化简，得：

$$f_i - f_j < cosy_j - cosy_i + (F_j - F_i) \times F_p$$

继续化简：

$$(cosy_j + f_j) - (cosy_i + f_i) + (F_j - F_i) \times F_p > 0$$

这时，我们设 $x_i = cosy_i + f_i$，则：

$$(F_j - F_i) \times F_p > x_i - x_j$$

把式子整理得好看一点：

$$\operatorname{slope}(i, j) = \frac{x_i - x_j}{F_i - F_j} > F_p$$

后面的式子是一个斜率的形式，所以我们把他称之为 斜率优化。

1.3 维护决策点#

$x_i$ 和 $F_i$ 都有序。

于是有两个结论。

结论 1：若当前 $i$ 比 $j$ 优，则之后 $i$ 一定也比 $j$ 优。

结论 2：相邻决策之间的斜率单调增。

证明较为简单。

可以直接维护单调队列。

$x_i$ 有序。

结论 1 不存在了，但是还有结论 2！

需要在凸壳上二分。

$F_i$ 有序。

需要使用平衡树等维护凸壳。

其他情况。

需要 动态凸壳 / 李超线段树。

1.4 斜率优化总结#

斜率优化

1.5 经典题目#

I. P3195 [HNOI2008]玩具装箱#