CF542C 解题分析

1 题目大意#

1.1 题目翻译：

给定一个值域为 $[1,n]$ 的函数 $f(x)$，让你求出最小的 $k$，其中 $k$ 满足 $f^{(2k)}(x) = f^{(k)}(x)$。

其实我觉得这题你谷翻译十分到位，建议没读懂题的还是去看你谷翻译罢。

1.2 数据范围：

对于 $100\%$ 的数据：

• $1 \leq n \leq 200$

1.3 *关于数据范围

这个 $n$ 其实可以开到 $2 \times 10^5$ 的，但前提是你得加一个高精度。出题人好仁慈，拜谢出题人。

2 解法分析#

发现出现了 $f^{k}(x)$ 这种东西，不难想到建图。

我们可以把 $x$ 向 $a_x$ 连一条有向边。不难发现，整个图被分成了多个连通块，每一个连通块都形似基环树。我们可以把每一个环的大小和一个点到环的最短距离算出来。

现在，我们分两种情况讨论。设答案为 $k$：

• 如果结点 $u$ 在环中，设这个环大小为 $s$，那么这个结点必须绕至少 $s$ 次才能出现相等。所以，$s \ | \ k$。

• 如果结点 $u$ 不在环上，设这个结点到环的最短距离为 $d$，那么这个结点只有走至少 $d$ 次才能到环。所以，$k \geq d$。

于是，答案就简单了。我们把所有环的大小取最小公倍数 $\operatorname{lcm}$，然后算出第二种结点 $d$ 的最大值 $p$。如果 $p \leq \operatorname{lcm}$，那么就成立；否则，还要用带余除法计算出最小的 $w$，满足 $w \cdot \operatorname{lcm} >= p$。此时，$w \cdot \operatorname{lcm}$ 即为答案。

3 AC Code#

代码丑的要死，将就着看吧。

int dfs(int x) {
    if (vis[x])
        return dis[x];
    vis[x] = 1;
    dfn[x] = ++ timetmp;
    int num = dfs(a[x]);
    if (vis[a[x]] == 1)
        p = a[x], num = dfn[x] - dfn[p] + 1;
    else if (cycle[a[x]] == 1) dis[x] = 1;
    else dis[x] = num + 1;
    if (p > 0 && vis[p] == 1)
        cycle[x] = 1, dis[x] = num;
    vis[x] = 2;
    return dis[x];
}

void solve() {
    cin >> n;
    f (i, 1, n)
        scanf("%lld", &a[i]);
    int k = 1;
    f (i, 1, n)
        if (!vis[i]) {
            p = -1;
            dfs(i);
        }
    f (i, 1, n)
        if (cycle[i])
            k = k * dis[i] / __gcd(k, dis[i]);
    int x = 0;
    f (i, 1, n)
        if (!cycle[i]) 
            x = max(x, dis[i]);
    if (x > k)
        k = ((x - 1) / k + 1) * k;
    printf("%lld\n", k);
}