CF405E Graph Cutting 解题报告

CF405E Graph Cutting 解题报告#

1 题目链接#

https://codeforces.com/problemset/problem/405/E

2 题目整理#

题目 ： 图形切割

题目描述

小克里斯正在参加一场图形切割比赛。 他是一个职业选手。 是时候充分考验他的技能了。

给出了一个简单的无向连通图，它有$n$个顶点(编号从$1$到$n$)和$m$条边，每条边长度为$1$。 问题是把它切成$\frac{m}{2}$个长度为$2$的路径。 形式上，克里斯必须把图的所有边分成成对的这样，一对中的边是相邻的，每条边必须恰好包含在一对中。

你有机会和克里斯竞争。 找到一种方法来切割给定的图表或确定它是不可能的!

输入格式#

第一行两个整数$n, m$，分别表示顶点的个数与边的个数。

接下来$m$行每行两个整数$u_i, v_i$，分别表示第$i$条无向边的两个端点。

输出格式#

如果这个图有可能被切分，输出$\frac{m}{2}$行，每行三个数$a \ b \ c$，分别表示一组长度为2的路径中按遍历顺序输出的三个点的编号，如果存在多种切分方式，输出任意一种即可。

否则，输出一行一个字符串$"No \ solution"$。

样例输入1#

8 12
1 2
2 3
3 4
4 1
1 3
2 4
3 5
3 6
5 6
6 7
6 8
7 8

样例输出1#

1 2 4
1 3 2
1 4 3
5 3 6
5 6 8
6 7 8

样例输入2#

3 3
1 2
2 3
3 1

样例输出2#

No solution

样例输入3#

3 2
1 2
2 3

样例输出3#

1 2 3

数据范围#

对于$100\%$的数据:

• $1 \leq n, m \leq 10^5$
• $1 \leq u_i, v_i \leq n$
• $u_i \neq v_i$

3 题意分析#

3.1 题目大意#

给你一个$n$个点$m$条边的简单无向图，问你能否将这个图分割成$\frac{m}{2}$个长度恰好为$2$的路径，使得每条边都恰好出现一次。如果能，请输出其中一种构造，否则输出$"No \ solution"$。

3.2 样例分析#

如上所述。

4 解法分析#

一道dfs树 + 构造的神题（可能是因为我太水了）。

我们先考虑一棵树的情况。

如果题目给的是一棵树的话，若我们现在已经来到了结点$root$,那么我们先把他的儿子顶点先递归一遍，然后再来判断他的儿子节点。假设现在他正在判断儿子节点$v_i$：

• 如果此儿子节点递归构造后还有剩余的边和点$c$没有用到，那么我们就将$root \ v_i \ c$构成一组即可。
• 如果此儿子节点没有剩余的边，那么把所有这样的儿子节点(假设总共有$p$个)$v_i$放进一个数组里$d_1, d_2, \cdots,d_p$,然后将$d_1 \ root \ d_2$构成一组，$d_3 \ root \ d_4$构成一组，$\cdots$,一直下去。这里，如果$p$为奇数，则把$d_p$看做未构造的顶点，供前面的递归使用。

这里可以发现，只要$m$是偶数，就一定能构造出来；只要$m$是奇数，就一定无法构造。

那对于图来说呢，当然我们可以通过dfs，把这个图转化成一颗树。

这样，这道题就完成了。(真的没想到这篇博客写的这么累)

AC代码#

ACCode #001#

// From ko_osaga
// Rating 3276
// reason : 思路清晰代码简洁明了，运用了set来储存图（怎么感觉有点浪费？）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long lint;
typedef long double llf;
typedef pair<int, int> pi;
typedef vector<int> vi;

set<int> gph[100005];
int n, m;

int dfs(int x){
	vector<int> lis;
	while(gph[x].size()){
		int p = *gph[x].begin();
		gph[x].erase(p);
		gph[p].erase(x);
		int t = dfs(p);
		if(t != -1){
			printf("%d %d %d\n", x, p, t);
		}
		else{
			lis.push_back(p);
		}
	}
	for(int i=lis.size()%2; i<lis.size(); i+=2){
		printf("%d %d %d\n",lis[i], x, lis[i+1]);
	}
	if(lis.size() & 1) return lis[0];
	return -1;
}
int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	if(m%2 == 1){
		puts("No solution");
		return 0;
	}
	for(int i=0; i<m; i++){
		int s, e;
		scanf("%d %d",&s,&e);
		gph[s].insert(e);
		gph[e].insert(s);
	}
	dfs(1);
}

ACCode #002#

// From RNS_MHB
// Rating 2539
// reason : 思路清晰代码简洁明了，先建立dfs树，然后再跑构造的。
#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <memory.h>
#include <algorithm>
#define N 100100
#define clr(a) memset(a, 0, sizeof(a))

using namespace std;

int head[N], to[N<<1], next[N<<1];
int n, m;
vector <int> vec[N];
bool vis[N];
int p[N];
bool chk[N];
int dep[N];
int id[N];
int linkp[N];

bool cmp(int x, int y) {
	return dep[x]>dep[y];
}

inline int exc(int v) {
	if (v>m) return v-m;
	return v;
}

void dfs(int u) {
	int i, j, k;
	vis[u]=1, id[u]=u;
	dep[u]=dep[p[u]]+1;
	for (i=head[u]; i; i=next[i]) {
		j=to[i];
		if (p[u]==j) continue;
		k=exc(i);
		if (!chk[k]) {
			vec[u].push_back(j);
			chk[k]=1;
		}
		if (!vis[j]) p[j]=u, dfs(j);
	}
}

int main() {
	int i, j, k, I;
	bool state;
//	freopen ("in.txt", "r", stdin);
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (i=1; i<=m; i++) {
		scanf("%d %d", &j, &k);
		to[i]=k, next[i]=head[j], head[j]=i;
		to[i+m]=j, next[i+m]=head[k], head[k]=i+m;
	}
	if (m&1) {
		puts("No solution");
		return 0;
	}
	dfs(1);
	sort(id+1, id+n+1, cmp);
	for (I=1; I<=n; I++) {
		i=id[I];
		state=0;
		for (j=0; j<vec[i].size(); j++) {
			k=vec[i][j];
			if (p[k]==i && linkp[k]) continue;
			if (!state) printf("%d %d ", k, i);
			else printf("%d\n", k);
			if (p[k]==i) linkp[k]=1;
			state^=1;
		}
		if (state) {
			linkp[i]=1;
			printf("%d\n", p[i]);
		}
	}
	return 0;
}

ACCode #003#

// From vepifanov
// Rating 2970
// reason : 思路清晰代码简洁明了
#include <cstdio>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <set>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <queue>
#include <sstream>
#include <deque>

using namespace std;

#define mp make_pair
#define pb push_back
#define rep(i,n) for(int i = 0; i < (n); i++)
#define re return
#define fi first
#define se second
#define sz(x) ((int) (x).size())
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define sqr(x) ((x) * (x))
#define sqrt(x) sqrt(abs(x))
#define y0 y3487465
#define y1 y8687969
#define fill(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
                         
typedef vector<int> vi;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef double D;
typedef pair<int, int> ii;
typedef vector<ii> vii;
typedef vector<string> vs;
typedef vector<vi> vvi;

template<class T> T abs(T x) { re x > 0 ? x : -x; }

int n;
int m;
vi v[100000];
int was[100000];
vector<pair<int, ii> > res;

int go (int x, int p) {
    vi u;
    was[x] = 1;
    for (int i = 0; i < sz (v[x]); i++) {
        int y = v[x][i], z;
        if (y == p) continue;
        if (!was[y]) {
            z = go (y, x);
            if (z != -1) res.pb (mp (z, mp (y, x))); else u.pb (y);
        } else
        if (was[y] == 2) u.pb (y);
    }
    while (sz (u) > 1) {
        int a = u.back ();
        u.pop_back ();
        int b = u.back ();
        u.pop_back ();
        res.pb (mp (a, mp (x, b)));
    }
    was[x] = 2;
    if (u.empty ()) re -1;
    re u[0];
}

int main () {
    scanf ("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b;
        scanf ("%d%d", &a, &b); a--; b--;
        v[a].pb (b);
        v[b].pb (a);
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (!was[i] && go (i, i) != -1) {
            printf ("No solution\n");
            re 0;
        }
    for (int i = 0; i < m / 2; i++)
        printf ("%d %d %d\n", res[i].fi + 1, res[i].se.fi + 1, res[i].se.se + 1);
    return 0;
}