树状数组

树状数组

定义

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

作用：

• 实现求数组前缀和
• 实现批量更新
• 区间和快速查询(实质是两个端点前缀和相减得到)

下图为树状数组实现原理，红色箭头代表更新操作的执行顺序，绿色箭头代表查找操作的顺序

lowbit(x)就是求x最后一个1所代表的值，例如lowbit(9) = lowbit(1001) = 1，
机器计算表达式为lowbit(x) = x & (-x)，以12也就是1100为例：

计算机组成原理：
正数的原、反、补码都是其本身，负数的反码等于原码取反， 补码等于反码+1，计算都是通过补码进行

 x = 0 1100  (12)
原、反、补码都是01100,最前面的0为符号位
-x = 1 1100  (-12)
原码  1 1100   
反码  1 0011
补码  1 0100

x & ( - x ) = 01100 & 10100 = 00100
即取到了最后一位的值 100

let arr = [];
function lowbit(x) {
    return x & (-x);
}
/* 给index索引的结点+value */
function add(index, value) {
    while (index <= 16) {
        arr[index] = arr[index] == undefined ? value : (arr[index] + value);
        index += lowbit(index);
    }
}
/* 查询前缀和 */
function query(index) {/* 查询前缀和，结束位置为index */
    let sum = 0;
    while (index > 0) {
        sum += arr[index] == undefined ? 0 : arr[index];
        console.log(index, arr[index])
        index -= lowbit(index);
    }
    return sum;
}
/* 查询x~y区间 */
function getSum(x, y) {
    return query(y) - query(x - 1); 
}