容斥定理

容斥定理：在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥定理。

                   

 

例：分母是1001的最简分数一共有多少个？

分析：这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。

1~1001中，

有7的倍数1001/7 = 143 （个)，有11的倍数1001/11 = 91 （个），有13的倍数1001/13 = 77 （个）。

有7*11的倍数1001/77 = 13 （个），有7*13的倍数1001/91 = 11 （个），有11*13的倍数1001/143 = 7 （个）。

有7*11*13的倍数1001/1001=1（个）。

由容斥原理知：在1~1001中，能被7或11或13整除的数有（143+91+77）-（13+11+7）+1=281（个），从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720（个）.也就是说，分母为1001的最简分数有720个。