动态规划
动态规划
好吧，其实算是复习的。
动态规划(Dynamic Programming,简称DP)，是指一种解决特定问题的一种方法。其通过将一个大问题拆分成多个较为简单的小问题，大问题的最优解由小问题的最优解合并而来的方式动态的解决问题。
首先，有几个概念需要阐述：
- 阶段：将所给问题的求解过程恰当的分成多个相互联系的阶段，以便于求解，即拆分而来的多个子问题。
- 状态：表示每个阶段开始时进行转移到下一个状态所需的条件，通常，一个阶段具有多个状态。
- 决策：当处于某一阶段的某一状态时，可以做出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策，描述决策的变量称为决策变量。
- 状态转移方程：在 \(DP\) 中本阶段的状态通常由上一阶段的状态和决策转移而来，由第 \(i\) 步的状态 \(f(i)\) ，和决策 \(u(i)\) 来确定第 \(i+1\) 段的状态。表示为 \(F(i+1)=T(f(i),u(i))\) ,这称为状态转移方程。
其次，要解决的问题必须符合两个性质才可以使用动态规划
- 无后效性：本阶段之前做出的决策不会影响之后的决策进行
- 最优子结构：即本阶段的最优解也是全局最优解，也就是全局最优解由局部最优解合并而来。
例题：
1.硬币问题：
题目描述:今有面值为 1、5、11 元的硬币各无限枚。想要凑出 \(n\) 元，问需要的最少硬币数量。
由于币值并不太完美，导致贪心的做法会被 \(hack\) 掉，考虑使用 \(DP\) 的方式，设 \(dp[i]\) 表示凑 \(i\) 元钱所需的最少钱币数，则其可以由其之前的三种状态转移而来，即 \(dp[i-1],dp[i-5],dp[i-11]\) 三种状态转移而来，则其的状态转移方程为
\(O(n)\) 的复杂度即可解决问题，非常好复杂度，这使时限旋转。
2.序列问题
(1.)最大子段和问题：
题目描述：给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) ，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。
设 \(dp[i]\) 表示以 \(i\) 结尾的最大子序列和，则其由上一最大子序列和转移而来或其自己为最大子段和。可推出其状态转移方程为
\(O(n)\) 扫一遍即可。
(2.)最长连续上升子序列(LIS)：
题目描述：给出一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) ，选出其中连续且非空的一段使这一段上具有 \(a_i<a_j(i<j)\) 。
设 \(dp[i]\) 表示以 \(i\) 结尾的最长连续上升子序列。考虑如何进行状态转移，如果 \(a[i]>a[i-1]\) 则有 \(dp[i]=dp[i-1]+1\) ，此时考虑边界问题，由于最长上升子序列最短为一，则初始化时 \(dp[i]=1\) 。则得出状态转移方程：
同样是 \(O(n)\) 的复杂度。
(3.)最长公共子序列(LCS):
题目描述：给予两个字符串 \(s1,s2(s1=x_1,s_2,x_3...x_m|s2=z_1,z_2,z_3...z_k)\) ,存在一个严格递减的下标序列 \(<i_1,i_2,i_3,...,i_k>\) 使得对于所有 \(j=1,2,3...k\) 有：\(s1_{[i,j]}=s2_j\) 。
设 \(dp[i][j]\) 为 \(s1\) 第 \(i\) 位到 \(s2\) 第 \(j\) 的最长公共子序列，若有 \(s1_i=s2_j\) 则有 \(dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1\) ，若无，则有 \(dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])\) ，得出状态转移方程：
3.背包问题：
(1.)01背包问题：
题目描述：一个旅行者有一个最多能装 \(M\) 公斤的背包，现在有 \(n\) 件物品，它们的重量分别是 \(W_1，W_2...W_n\) 它们的价值分别为 \(C_1,C_2...C_n\) ，求旅行者能获得最大总价值。
对于每一个物品，有两种状态(取或不取)，其实这也就得出了状态转移方程
(2.)完全背包问题
题目描述：设有 \(n\) 种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为 \(M\) ，今从 \(n\) 种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于 \(M\) ，而价值的和为最大。
其实是01背包问题的一种子问题，即讨论每个物品取几个，多一层循环讨论取几个即可。
ok,先写到这，剩下以后再写，润了。
