博弈论入门

合集 - 数论(1)

1.博弈论入门2024-08-24

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博弈论入门

博弈论主要研究的是：在一个游戏中，进行游戏的多位玩家的策略。

公平组合游戏

定义:

• 游戏有两个人参加，轮流参加决策，双方均知道游戏的完整信息；
• 任意一名玩家在某一状态可以做出的决策集合只与当前状态有关，与游戏者无关；
• 游戏中某一状态不可能多次抵达，游戏以玩家无法行动为结束，且游戏一定会在有限步后以非平局结束。

$Nim$ 游戏

$Nim$ 游戏便是一个典型的公平组合游戏。

$n$ 堆石子，分别有 $a_1,a_2,a_3,a_4...a_n$ 个石子，两个玩家分别取走任意一堆的任意个石子，但不能不取。取走最后一个石子的人获胜。

博弈图与状态

如果将每个状态视作一个点，再将其与其后续状态连边则得到一个博弈状态图。

若将节点 $(i,j,k)$ 表示局面 $i,j,k$ 时的状态，则可以这样表示博弈状态图：

定义 必胜状态(后简称 $N$ ) 为先手必胜的状态，必败状态(后简称 $P$ )为先手必败的状态。

易得以下三个结论：

1. 没有后继状态的状态是 $P$ 。
2. 一个状态是 $N$ ，当且仅当存在至少一个 $P$ 为它的后继结点。
3. 一个节点是 $P$ ，当且仅当它的后继结点都为 $N$ 。

对于定理一，若游戏进行不下去了，则此玩家输掉游戏。

对于定理二，如果该状态至少有一个后继状态为 $P$ ，则玩家可以通过操作到该 $P$ 状态，则对手一定是 $P$ 状态——对手一定失败，自己就赢得了胜利。

对于定理三，如果不存在一个后继结点为 $P$ ，则无论如何操作，只能达到 $N$ ，则对手一定是 $N$ 状态——对手一定胜利，则自己一定失败。

$Nim$ 和

让我们再次回到 $Nim$ 游戏。

通过绘画博弈图，我们可以在 $O(\prod _{i=1}^n{a}_i)$ 的时间里求出该局面是否先手必赢。

但是，这样时间复杂度实在太高。有没有更好的方法呢?

定义 $Nim$ 和 $=a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus ...\oplus a_n$ 。0

当且仅当 $Nim$ 和为零时，该状态为必败状态，否则为必胜状态。

证明

为什么异或的结果会与胜负有关？

要解决这个问题，只需证下面三个定理：

1. 没有后继状态的状态是 $P$ 。
2. 对于 $a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n\ne 0$ 的局面，一定存在某种移动使 $a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0$ 。
3. 对于 $a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0$ 的局面，一定不存在某种移动使 $a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0$ 。

对于一，唯一无后继结点的状态为全0局面，此时 $a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=0$ 。

对于二，假设 $a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=k\ne 0$ 。设我们将 $a_i$ 改为 $a_j$ 则 $a_j=a_i\oplus k$ 假设 $k$ 的最高位为 $d$ 即 $k\in [2^d,d^{d+1})$ 。根据定义，一定有奇数个 $a_i$ 的二进制第 $d$ 位为1。满足这个条件的 $a_i$ 一定也满足 $a_j>a_i\oplus k$ ，所以这是一个合法的移动。

对于三，若要将 $a_i$ 变为 $a_j$ ，根据异或的运算规则可以得出 $a_i=a_j$ ，显然不是合法移动。

有向图游戏和 $SG$ 函数

有向图游戏是一个经典的博弈游戏——实际上，大部分公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。

在一个有向无环图上，只有一个起点，上面有个棋子，两个玩家轮流沿着有向边推动棋子，不能走的玩家判负。

定义 $max$ 函数的值为不属于集合 $S$ 的最小非负整数，即：

$mex(S)=min\{x\}(x\notin S,x\in N)$

例如 $mex(\{0,2,4\})=1,mex(\{1,2\}=0)$ 。

对于状态 $x$ 和他的所有 $k$ 个后续 $y_1,y_2,...,y_k$ ，定义 $SG$ 函数：

$SG(x)=mex\{SG(y_1),SG(y_2),...,SG(y_k)\}$

而对于由 $n$ 个有向图组成的有向图游戏组成的组合游戏，设他们的起点分别为 $s_1,s_2...s_n$ ，则有定理：当且仅当 $SG(s_1)\oplus SG(s_2)\oplus ...SG(s_n)\ne 0$ 时，这个游戏是先手必胜的。同时，这也是一个组合游戏的游戏状态 $x$ 的 $SG$ 值。

这一定理被称为 $Sprague–Grundy$ 定理( $Sprague–GrundyTheorem$ )，简称 $SG$ 定理。

$SG$ 函数的证明

使用数学归纳法。

假设对于游戏状态 $x$ ,其当前节点 $s_1^{‘},s_2^{‘},...s_n^{‘}(\mathrm{对}\mathrm{于}\mathrm{任}\mathrm{意}i\mathrm{有}{s}_i^{‘}<s_i)$ ，皆满足 $SG$ 定理，显然当 $SG(s_1{)}^{‘}=SG(s_2{)}^{‘}=...=SG(s_n{)}^{‘}=0$ 时，该状态能满足 $SG$ 定理。

只需证明对于游戏状态 $x$ ，当其节点 $s_1^{‘},s_2^{‘},...s_n^{‘}$ 符合 $SG$ 定理， $SG$ 定理便成立。

其实可以看做一个 $Nim$ 游戏，后略。

$SG$ 函数的应用

$SG$ 定理适用于 任何公平的两人游戏 ，它常被用于决定游戏的输赢结果。

计算给定的状态的 $SG$ 值的步骤一般包括：

• 获取从此状态所有可能的转换；

• 每个转换都可以导致 一系列独立的博弈（退化情况下只有一个）。计算每个独立博弈的 $SG$ 值并对它们进行 异或求和。

• 在为每个转换计算了 $SG$ 值之后，状态的值是这些数字的 $mex$ 。

• 如果该值为零，则当前状态为输，否则为赢。