排列组合：公式及推导

排列组合：公式及推导

引入

定义：

排列：从指定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序；(考虑元素的顺序)
组合：从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素；(不考虑元素的顺序)

加法&乘法原理

加法原理：

完成一个工程可以有 \(n\) 类办法， \(a_i(i\in[1,n])\) 代表第\(i\) 类方法的数目。则完成这件事共有 \(S=a_1+a_2+a_3+···+a_n\) 种不同的方法。

乘法原理：

完成一个工程需要 \(n\) 个步骤，\(a_i(i\in[1,n])\) 代表第 \(i\) 个步骤的不同方法的数目。那么完成这个工程共有 \(S=a_1 \times a_2 \times a_3 \times ··· \times a_n\) 种不同的方法。

排列与组合基础

排列数：

从 \(n\) 个不同的元素中，任取 \(m(m \leqslant n,m与n均为自然数，下同)\) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 \(n\) 个不同元素中 \(m\) 个元素的一个排列；从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m(m \le n)\) 个元素的所有排列个数，叫做从 \(n\) 个元素中取出 \(m\) 个元素的排列数，用符号 \(A^m_n\) (或者是 \(P^m_n\) )表示。
排列的计算公式如下：

\(A^m_n =n(n-1)(n-2)..(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}\)

\(n!\) 代表 \(n\) 的阶乘，即 \(6!=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6\) 。

公式可以这样理解： \(n\) 个人选 \(m\) 个来排队，队长为 \(n\) ( \(m \leqslant n\) )，第一个位置可以选的人为 \(n\) 个,第二个位置可以选的人为 \(n-1\) 个，以此类推，第 \(m\) 个(最后一个)可以选 \(n-m+1\) 个，得：

\[A^n_m =n(n-1)(n-2)...(n-m+1)= \frac{n!}{(n-m)!} \]

全排列： \(n\) 个人来排队，队长为 \(n\) 。第一个位置 可以选 \(n\) 个，第二个位置可以选 \(n-1\) 个，依此类推得：

\[A^n_n=n(n-1)(n-2)...3 \times 2 \times 1=n! \]

全排列是排列数的一个特殊情况。

组合数：

从 \(n\) 个不同元素中，任取 \(m(m \leqslant n)\) 个元素组成一个集合，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的一个组合；从 \(n\) 个不同元素中q取出 \(m(m \leqslant n)\) 个元素组成的所有组合的个数，叫做从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的组合数，用符号 \((^n_m)\) 来表示，读作 $\left\lceil n选m \right\rfloor $ 。
组合数计算公式：

\[( ^n_m )=\frac{A^m_n}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

如何理解上述公式？考虑 \(n\) 个人选 \(m\) 个出来 \((m \leqslant n)\) ,不排队，不在乎顺序。如果关心顺序，则为 \(A^m_n\) ,若不关心那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样 \(m\) 个人，还要 $\left\lceil 全排列 \right\rfloor $ 得 \(m!\) ，所以得：

\[( ^n_m )\times m!=A^m_n \]

\[(^n_m )=\frac{A^m_n}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

组合数也常用 \(\complement^m_n\) 表示，即 \(\complement^m_n=(^n_m)\) 。

组合数也被称为 $\left\lceil 二项式系数 \right\rfloor $ ，下文会阐述其联系。

特别的，当 \(m>n\) 时，\(A^m_n=(^n_m)=0\) 。

插板法

插板法是用于求一类给相同元素分组的方案数的一种技巧，也可用于求一类线性方程组的解的组数。

正整数和的题目

\(Q_1\) :现有 \(n\) 个完全相同的元素，要求将其分为 \(k\) 组，保证每组至少有一个元素，共有多少种分法？

对于这个问题我们可以抽象理解为在 \(n-1\) 个空隙中插入 \(k-1\) 块隔板，将 整个长队分为 \(n\) 部分，两块隔板不能相邻。这样就变成了经典的组合数问题。可得

\[ans=\complement^{k-1}_{n-1}=\frac{{(n-1)}!}{{(k-1)}!(n-k)!} \]

其本质是求 \(x_1+x_2+x_3+...+x_k=n\) 的正整数解的组数。

非负整数和的题目

\(Q_2\) :若允许为空呢？

此时没法插板了，因为可能会出现很多板子插到一个空的情况，非常不好计算。因此，我们考虑加以约束，使其转化为有限制的 \(Q_1\) 。先借 \(k\) 个元素，平均分配到 \(k\) 组，在 \(n+k\) 个元素形成的 \(n+k-1\) 个空里插板，则

\[ans=\complement^{k-1}_{n+k-1}=\complement^{n}_{n+k-1} \]

由于元素是完全相同的，在分完组后，从每一组中都拿走一个，对结果是完全没有影响的，也就是结果相等。
其本质是求 \(x_1+x_2+x_3+...+x_k=n(x_i\geqslant 0)\) 的非负整数解的组数。

不同下界整数和的题目

\(Q_3\) :若每组至少有 \(t\) 个元素呢？

此时，对于插板法，会导致版的间隔增大，不好计算。同 \(Q_2\) ,看看如何转化为 \(Q_1\) 。先将 \(t-1\) 个元素压入各组，则转化为在 \(n-k(t-1)-1 (特别的,定义n-1>k(t-1))\) 个空隙中插板。

\[ans=\complement^{k-1}_{n-k(t-1)-1} \]

不相邻的排列

在 \([1,n]\) 中选 \(k\) 个，这 \(k\) 个数中任何两个数都不相邻的组合由有 \(\complement^{k}_{n-k-1}\) 种。

二项式定理

二项式定理阐明了一个展开式的系数：

\[(a+b)^n= \sum\limits_{i=0}^n (^n_i)a^{n-i}b^i \]

采用数学归纳法：

手演一遍，会发现对于 \({(a+b)}^n\) 当 \(n=0\) 时，此时等于 \(1\) ,以此类推，分别为

为一时： \({(a+b)^1}=a+b\)
为二时： \({(a+b)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2\)
为三时： \({(a+b)^3}=(a+b){(a+b)}^2=a^3+3a^2b+3ab^3+b^3\)

现在可以找一下规律。

我们将其写作一个塔的样子：

现在只看系数：

是不是非常熟悉？
是的，这便是杨辉三角：

杨辉三角是二项式定理的一种图形上的显式呈现，杨辉三角向我们呈现了组合的一个性质，即：

\[\complement^{k-1}_{n}+\complement^{k}_{n}=\complement^{k}_{n+1} \]

不仅如此，对于 \((a+b)^n\) 的展开式来说，其中的各项系数依次对应杨辉三角的第 \(n+1\) 行中的每一项 (二项式定理)。

二项式系数

二项式系数可以排列成帕斯卡三角形(杨辉三角形)。若将二项式系数排成一行，在从上向下排列，则构成帕斯卡三角形。

二项式系数常见于各数学领域中，尤其是组合数学。事实上，其可以理解为从 \(n\) 个相异的的元素中选出 \(k\) 个元素的方法数。二项式系数的定义可以推广至 \(n\) 是复数的情况，而且仍被称为二项式系数。