排列组合：公式及推导

排列组合：公式及推导

引入

定义：

排列：从指定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序；(考虑元素的顺序)
组合：从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素；(不考虑元素的顺序)

加法&乘法原理

加法原理：

完成一个工程可以有 $n$ 类办法， $a_i(i\in [1,n])$ 代表第$i$ 类方法的数目。则完成这件事共有 $S=a_1+a_2+a_3+···+a_n$ 种不同的方法。

乘法原理：

完成一个工程需要 $n$ 个步骤，$a_i(i\in [1,n])$ 代表第 $i$ 个步骤的不同方法的数目。那么完成这个工程共有 $S=a_1\times a_2\times a_3\times ···\times a_n$ 种不同的方法。

排列与组合基础

排列数：

从 $n$ 个不同的元素中，任取 $m(m⩽n,m\mathrm{与}n\mathrm{均}\mathrm{为}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{数}，\mathrm{下}\mathrm{同})$ 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中 $m$ 个元素的一个排列；从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m\le n)$ 个元素的所有排列个数，叫做从 $n$ 个元素中取出 $m$ 个元素的排列数，用符号 $A_n^m$ (或者是 $P_n^m$ )表示。
排列的计算公式如下：

$A_n^m=n(n-1)(n-2)..(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$

$n!$ 代表 $n$ 的阶乘，即 $6!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6$ 。

公式可以这样理解： $n$ 个人选 $m$ 个来排队，队长为 $n$ ( $m⩽n$ )，第一个位置可以选的人为 $n$ 个,第二个位置可以选的人为 $n-1$ 个，以此类推，第 $m$ 个(最后一个)可以选 $n-m+1$ 个，得：

$$A_m^n=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$$

全排列： $n$ 个人来排队，队长为 $n$ 。第一个位置 可以选 $n$ 个，第二个位置可以选 $n-1$ 个，依此类推得：

$$A_n^n=n(n-1)(n-2)...3\times 2\times 1=n!$$

全排列是排列数的一个特殊情况。

组合数：

从 $n$ 个不同元素中，任取 $m(m⩽n)$ 个元素组成一个集合，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合；从 $n$ 个不同元素中q取出 $m(m⩽n)$ 个元素组成的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数，用符号 ${(}_m^n)$ 来表示，读作 $\lceil n\mathrm{选}m\rfloor$ 。
组合数计算公式：

$${(}_m^n)=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

如何理解上述公式？考虑 $n$ 个人选 $m$ 个出来 $(m⩽n)$ ,不排队，不在乎顺序。如果关心顺序，则为 $A_n^m$ ,若不关心那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样 $m$ 个人，还要 $\lceil \mathrm{全}\mathrm{排}\mathrm{列}\rfloor$ 得 $m!$ ，所以得：

$${(}_m^n)\times m!=A_n^m$$

$${(}_m^n)=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

组合数也常用 ${\complement }_n^m$ 表示，即 ${\complement }_n^m={(}_m^n)$ 。

组合数也被称为 $\lceil \mathrm{二}\mathrm{项}\mathrm{式}\mathrm{系}\mathrm{数}\rfloor$ ，下文会阐述其联系。

特别的，当 $m>n$ 时，$A_n^m={(}_m^n)=0$ 。

插板法

插板法是用于求一类给相同元素分组的方案数的一种技巧，也可用于求一类线性方程组的解的组数。

正整数和的题目

$Q_1$ :现有 $n$ 个完全相同的元素，要求将其分为 $k$ 组，保证每组至少有一个元素，共有多少种分法？

对于这个问题我们可以抽象理解为在 $n-1$ 个空隙中插入 $k-1$ 块隔板，将 整个长队分为 $n$ 部分，两块隔板不能相邻。这样就变成了经典的组合数问题。可得

$$ans={\complement }_{n-1}^{k-1}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}$$

其本质是求 $x_1+x_2+x_3+...+x_k=n$ 的正整数解的组数。

非负整数和的题目

$Q_2$ :若允许为空呢？

此时没法插板了，因为可能会出现很多板子插到一个空的情况，非常不好计算。因此，我们考虑加以约束，使其转化为有限制的 $Q_1$ 。先借 $k$ 个元素，平均分配到 $k$ 组，在 $n+k$ 个元素形成的 $n+k-1$ 个空里插板，则

$$ans={\complement }_{n+k-1}^{k-1}={\complement }_{n+k-1}^n$$

由于元素是完全相同的，在分完组后，从每一组中都拿走一个，对结果是完全没有影响的，也就是结果相等。
其本质是求 $x_1+x_2+x_3+...+x_k=n(x_i⩾0)$ 的非负整数解的组数。

不同下界整数和的题目

$Q_3$ :若每组至少有 $t$ 个元素呢？

此时，对于插板法，会导致版的间隔增大，不好计算。同 $Q_2$ ,看看如何转化为 $Q_1$ 。先将 $t-1$ 个元素压入各组，则转化为在 $n-k(t-1)-1(\mathrm{特}\mathrm{别}\mathrm{的},\mathrm{定}\mathrm{义}n-1>k(t-1))$ 个空隙中插板。

$$ans={\complement }_{n-k(t-1)-1}^{k-1}$$

不相邻的排列

在 $[1,n]$ 中选 $k$ 个，这 $k$ 个数中任何两个数都不相邻的组合由有 ${\complement }_{n-k-1}^k$ 种。

二项式定理

二项式定理阐明了一个展开式的系数：

$$(a+b{)}^n=\sum _{i=0}^n{(}_i^n)a^{n-i}{b}^i$$

采用数学归纳法：

手演一遍，会发现对于 ${(a+b)}^n$ 当 $n=0$ 时，此时等于 $1$ ,以此类推，分别为

为一时： $(a+b{)}^1=a+b$
为二时： ${(a+b)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$
为三时： $(a+b{)}^3=(a+b){(a+b)}^2=a^3+3a^{2}b+3a{b}^3+b^3$

现在可以找一下规律。

我们将其写作一个塔的样子：

现在只看系数：

是不是非常熟悉？
是的，这便是杨辉三角：

杨辉三角是二项式定理的一种图形上的显式呈现，杨辉三角向我们呈现了组合的一个性质，即：

$${\complement }_n^{k-1}+{\complement }_n^k={\complement }_{n+1}^k$$

不仅如此，对于 $(a+b{)}^n$ 的展开式来说，其中的各项系数依次对应杨辉三角的第 $n+1$ 行中的每一项 (二项式定理)。

二项式系数

二项式系数可以排列成帕斯卡三角形(杨辉三角形)。若将二项式系数排成一行，在从上向下排列，则构成帕斯卡三角形。

二项式系数常见于各数学领域中，尤其是组合数学。事实上，其可以理解为从 $n$ 个相异的的元素中选出 $k$ 个元素的方法数。二项式系数的定义可以推广至 $n$ 是复数的情况，而且仍被称为二项式系数。