根据一个坐标查找其所属区域的一些优化想法

今日下午，听到同事讨论一个问题感觉十分有趣。晚上下班回家后，又想起了这个问题，心里稍微有一些想法，遂将其记录下来。

这个问题大致如下：

假设有一个规则的矩形地图，其大小为n*m（即由n*m个格子组成）。在这地图上，又有k个区域，其中每个区域里格子是连续的，并且同一个格子仅会唯一的属于一个区域（每一个格子需要记录所属区域）。

问：是否有方法，能够使用尽可能少的内存，并且还能较为快速的根据一个给定格子的xy坐标，找出格子所属的对应区域？

需要说明的是，地图上的各区域的形状未定，因此实现上不能对其有任何假设。

 

如果不考虑内存，那么直观的方法就是：使用一个n*m的二维数组A，其中A[i][j]记录的是格子grid(x=i,y=j)所属的区域id。这种方法最简单也最高效，仅通过两次计算偏移值就能计算得出结果。

但是为了优化内存，还是不得不考虑其它的一些方法。本着一个指导思想是：在给定的特殊的条件（假设）下，通常都会有针对该条件的优化方法。而对于这个问题来说，这个特殊条件（特殊假设）就是在同一个区域里，格子一般是连续的！

如同，连续的整数在一定情况下是可以被压缩存储的。比如列表l=[1,4,7,8,9,10,11,12,17]，可以被压缩成[1,4,(7,12),17]。

 

假设地图M上有三个区域A、B、C，各个区域分布如下：

/* 地图M:
 +---+---+---+---+---+---+
 | A | A | A | A | C | C |
 +---+---+---+---+---+---+
 | A | B | B | B | C | C |
 +---+---+---+---+---+---+
 | A | A | B | B | B | C |
 +---+---+---+---+---+---+
 | A | A | B | B | C | C |
 +---+---+---+---+---+---+
 | A | A | A | B | C | C |
 +---+---+---+---+---+---+
*/

 对地图上的每个格子编号之后，可以得到M中各区域拥有的格子数据如下：

/*
区域A: la=[0, 1, 2, 3, 6, 12, 13, 18, 19, 24, 25, 26]
区域B: lb=[7, 8, 9, 14, 15, 16, 20, 21, 27]
区域C: lc=[4, 5, 10, 11, 17, 22, 23, 28, 29]
*/

对上述格子编号列表进行压缩，得到的结果是：

/*
区域A: la=[(0, 3), 6, (12, 13), (18, 19), (24, 26)]
区域B: lb=[(7, 9), (14, 16), (20, 21), 27]
区域C: lc=[(4, 5), (10, 11), 17, (22, 23), (28, 29)]
*/

如果要查找一个格子g是否属于区域A，可以对列表区域A的所属格子列表la，执行一个稍微变种的二分查找算法。当然前提是需要列表la是已排序的！二分查找算法十分高效，倘若列表la有1500个元素，执行二分查找只需要比较11次即可。

因此算法基本描述是这样的：

对于给定的地图M，以及区域K，先按照上述方法生成每个区域所属的格子列表，并对其先压缩再排序，得到列表lk。当需要查找格子g所属的区域时，遍历所有区域的压缩排序后的列表lk，查找该格子是否在其中。

 

不过，算法还是可以被继续优化的！

首先想到的一点就是，为什么一次查找操作需要遍历所有区域的列表呢？我何不先大致的猜测出这个格子可能存在于哪几个区域，然后只管遍历它们就好了。其它的区域完全可以被忽略，从而节省不需要的遍历操作。

这当然是可以的。不过需要稍微多存一些辅助数据！

方法就是，对于一个不规则的区域k，可以用一个完全包含k中所有格子的规则区域k1来作为粗略的估算值。如下所示：

/* 区域K真实值:
 +---+---+---+---+---+---+
 |   |   |   |   |   |   |
 +---+---+---+---+---+---+
 |   | K | K | K |   |   |
 +---+---+---+---+---+---+
 |   |   | K | K | K |   |
 +---+---+---+---+---+---+
 |   |   | K | K |   |   |
 +---+---+---+---+---+---+
 |   |   |   | K |   |   |
 +---+---+---+---+---+---+
 
 区域K粗略的估算值：
 +---+---+---+---+---+---+
 |   |   |   |   |   |   |
 +---+---+---+---+---+---+
 |   | K | K | K | * |   |
 +---+---+---+---+---+---+
 |   | * | K | K | K |   |
 +---+---+---+---+---+---+
 |   | * | K | K | * |   |
 +---+---+---+---+---+---+
 |   | * | * | K | * |   |
 +---+---+---+---+---+---+
 */

对于区域K，取其横纵坐标的最大值来估算得到K1。存储K1只需要一个四元组即可（即存的是矩形的两个对角坐标），上图所示即为K1=(1, 1, 4, 4)。

这么做的好处是：能够十分快速的计算出一个格子是否位于其中（判断格子g的坐标是否在矩形K1的两个对角坐标中间即可）。

 

如此一来，对于地图M，我们便可以计算出M中各区域的估算值：

/*
地图M中各区域的估算字典D: 
D = { A:(0, 0, 3, 4), B:(1, 1, 4 ,4), C:(4, 0, 5, 4)}
*/

 

因此，进一步的被优化的查找算法描述如下：

当需要查找格子g所属的区域时，首先遍历区域的粗略估算值，得出格子g可能的所属区域集合。然后才是遍历这些可能的区域的压缩排序后的列表lk，查找该格子是否在其中。

 

更复杂的优化：

比如一个连续的列表可以被优化成只存首尾元素，类似的一个矩形区域也可以只存对角坐标。基于这个思想或许能再进一步优化内存，或是查找效率！