面试题 Trie+贪心策略求数组最大异或对
trie
用于存储字符串的数据结构
Trie：高效存储和查找字符串集合的数据结构
对于单词来说使用标记来注明。
高效的查找前缀单词是否存在
模板
题目
维护一个字符串集合，支持两种操作：
“I x”向集合中插入一个字符串x；
“Q x”询问一个字符串在集合中出现了多少次。
共有N个操作，输入的字符串总长度不超过 10e5，字符串仅包含小写英文字母。
输入格式
第一行包含整数N，表示操作数。
接下来N行，每行包含一个操作指令，指令为”I x”或”Q x”中的一种。
输出格式
对于每个询问指令”Q x”，都要输出一个整数作为结果，表示x在集合中出现的次数。
每个结果占一行。
数据范围
1≤N≤2∗10e4
输入样例：
5
I abc
Q abc
Q ab
I ab
Q ab
输出样例：
1
0
1
题目大意：如上所言
分析
如果使用朴素做法，那么每一次查询都需要对前\(n\)个字符串求前缀匹配，而比较快速的前缀算法KMP的时间复杂度是\(O(len(n)+len(m))\)。因此总的时间复杂度是\(O(n*(len(m)+len(n)))\)，计算后得到是\(2*10^5*10^5\)，肯定超时。
因此本题不能一次匹配一个串，而是要多个匹配，那么就想到了前缀树trie来做前缀单词匹配。
对于查询当前的单词，如果最后在trie上能够走到非空的节点，并且节点标记为终结的节点，那么该单词出现过在之前的序列中，若找到的节点是非终结节点，那么说明该单词是至少出现在之前单词的前缀中。
因此综上，对单词前缀的实时插入和查询前缀，实质是trie树所支持的基本操作。
- add(s)向前缀树插入一个串
- query(s)向前缀树中查询这个串是否出现过
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10;
int n;
char x[maxn];
string op;
int son[maxn][26]; //存点的儿子的下标
int cnt[maxn]; //当前点结尾的单词有出现多少次
int idx; //维护的数量
//下标是0的节点既是根节点又是空节点
void insert(char str[]) {
int p = 0;
for (int i = 0; str[i]; i++) {
int u = str[i] - 'a';
if (!son[p][u]) son[p][u] = ++idx;
p = son[p][u];
}
cnt[p]++;
}
int query(char str[]) {
int p = 0;
for (int i = 0; str[i]; i++) {
int u = str[i] - 'a';
if (!son[p][u]) return 0;
p = son[p][u];
}
return cnt[p];
}
int main() {
#ifndef judge
freopen("E:/yxc/in.txt", "r", stdin);
freopen("E:/yxc/out.txt", "w", stdout);
#endif
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> op >> x;
if (op == "I") {
insert(x);
} else if (op == "Q") {
cout << query(x) << endl;
}
}
return 0;
}
例题
在给定的N个整数\(A_1,A_2……A_N\)中选出两个进行xor（异或）运算，得到的结果最大是多少？
输入格式
第一行输入一个整数N。
第二行输入N个整数\(A_1～A_N\)。
输出格式
输出一个整数表示答案。
数据范围
\(1≤N≤10^5\),
\(0≤A_i<2^{31}\)
输入样例：
3
1 2 3
输出样例：
3
题目大意：在一个数组中求最大异或对
分析
使用暴力做法枚举两个边界，时间复杂度是\(O(n^2)\)，明显超时。
优化做法有点考验思维，直接贴出题解：
假如考虑一个数字\(a\)的二进制展开是\((a_na_{n-1}....a_3a_2a_1a_0)_2\)那么在和另一个数字\(b\)的二进制展开\((b_nb_{n-1}....b_3b_2b_1b_0)_2\)做异或操作时，考虑第\(k\)位上的运算\(a_k\text{xor }b_k\)可能的结果是\(1\)或者\(0\)，但是一定不会影响到左边或者右边的位（所以异或又被称作膜二加法或者是不进位加法）。
因此可以得出，如果想要使得当前的对是数组\(a\)中异或值最大的，那么需要优先从高位到低位去考虑异或值是1的情况（贪心的思想），那么如何去实施这种贪心呢？
答案是使用\(Trie\)，在当前的数字二进制展开所建立的\(Trie\)上贪心地去找异或最大值。
考虑以下情况：
对于每一个数字都使其二进制表示插到\(Trie\)上，随后即为每次询问一个数K的二进制展开在这个\(Trie\)上的最大异或值，因为当前的匹配中0和1组合是最大的（等于该位置上的1），因此，贪心的策略是找当前节点的非。
举个样例：
通过这样的转化，我们首先根据每一个数字的二进制展开来建立一个前缀树，之后，对每一个查询做贪心策略，都去寻找当前值的非值（期望最大化），若无法找到则选择当前节点的非，则选择当前节点（退而求其次）。
时间复杂度：最坏情况下，n个数字的二进制展开都不一致，那么对于k位数字来说总共有\(2^{32}\)个节点，但是每一次匹配最多进行32次，总共有n个单词，因此时间复杂度是\(O(nk)\)，简单计算得到是\(32*10^5<<10^7\)。
其关键部分是每一次走节点的贪心策略：
int maxquery(int x) {
int res = 0;
int p = 0;
for (int i = 30; i >= 0; i--) {
int b = (x >> i) & 1;
if ((b == 0 && son[p][1]) || (b == 1 && son[p][0])) {
//此时当前节点值的位存在并且和当前数字的位不同
res = res << 1 | 1;
p = son[p][1 ^ b];//向下走到下一个Trie节点
} else {
//不存在和当前数字的位的不同的子节点，退而求其次选择和自己相同的点
res = res << 1 | 0;
p = son[p][b];//向下走到下一个Trie节点
}
}
return res;
}
代码
//#define judge
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
const int maxn = 1e5 + 10;
int a[maxn];
int son[maxn * 32][2], idx;
void add(int x) {
int p = 0; // root
for (int i = 30; i >= 0; i--) {
int b = (x >> i) & 1; //这个位置的数字
if (!son[p][b]) son[p][b] = idx++;
p = son[p][b];
}
}
int maxquery(int x) {
int res = 0;
int p = 0;
for (int i = 30; i >= 0; i--) {
int b = (x >> i) & 1;
if ((b == 0 && son[p][1]) || (b == 1 && son[p][0])) {
res = res << 1 | 1;
p = son[p][1 ^ b];
} else {
res = res << 1 | 0;
p = son[p][b];
}
}
return res;
}
int main() {
#ifndef judge
freopen("E:/yxc/in.txt", "r", stdin);
freopen("E:/yxc/out.txt", "w", stdout);
#endif
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> a[i];
}
// bf
// for (int i = 0; i < n; i++) {
// for (int j = i + 1; j < n; j++) {
// if ((a[i] ^ a[j]) == 1033222) {
// cout << i << " " << j << endl;
// }
// }
// }
//因为对于^来说，把每一个数写作二进制表示后
// 10010 把它填充到32位 00..10010
//然后遍历每一个数字把它加入到trie上
// max的数一定是期望每一位都是1
//那么遍历每一个ai 期望它都走1的路线 如果1是null
//就走0 这样就达到了最大
for (int i = 0; i < n; i++) {
add(a[i]);
}
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
res = max(res, maxquery(a[i]));
}
cout << res << endl;
return 0;
}
