ABC263F 题解

题面

注意到把对局在图上表示出来是一颗满二叉树（叶节点为选手，其他点为对局），可以考虑树形 dp。

设 \(x\) 为 \([l_x,r_x]\) 之间选手的比赛，且该节点到叶子结点距离 \(d_x\)。

设 \(f(x,p)\) 表示胜者为 \(p\) 的最大钱数，有转移：

\[\begin{aligned} f(x,p)&=f(lson(x),p)+g(rson(x))+a_{p,d_x}-a_{p,d_x-1}\quad (p\in[l_x,mid])\\ f(x,p)&=g(lson(x))+f(rson(x),p)+a_{p,d_x}-a_{p,d_x-1}\quad (p\in(mid,r_x]) \end{aligned} \]

其中 \(g_x=\max_{i=l_x}^{r_x}f(x,i)\)。

注意到一共 \(N\) 层，所以每个叶节点一共只会给祖先贡献 \(N\) 个状态，一共 \(2^N\) 个叶节点。

所以复杂度 \(O(N2^N)\)。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = (1 << 17) + 5, K = 17;
ll f[K][N], g[N];
int n, a[N][K];

void dp(int l, int r, int x, int lev)
{
    int mid = l + r >> 1;
    int lenl = mid - l + 1, lenr = r - mid, len = r - l + 1;
    if(l == r)
    {
        f[lev][l] = 0;
        return;
    }
    dp(l, mid, x << 1, lev - 1);
    dp(mid + 1, r, x << 1 | 1, lev - 1);
    for(int j = l; j <= mid; j ++)
        f[lev][j] = f[lev - 1][j] + a[j][lev] - a[j][lev - 1] + g[x << 1 | 1];
    for(int j = mid + 1; j <= r; j ++)
        f[lev][j] = f[lev - 1][j] + a[j][lev] - a[j][lev - 1] + g[x << 1];
    for(int i = l; i <= r; i ++)
        g[x] = max(g[x], f[lev][i]);
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < (1 << n); i ++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
            cin >> a[i][j];
    }
    dp(0, (1 << n) - 1, 1, n);
    cout << g[1];

    return 0;
}