【数学分析】第一章笔记
集合与映射
集合
集合是什么
是个方便后续研究和讨论的工具,我们先拿出来说说,有个感觉,后面讨论的时候觉得不对了,就可以一路找到最初这些定义。
当然,一般没人这么较真,除了数学家。
我们规定:
-
集合元素在集合中
-
集合元素是无序的,对于俩集合判等问题,重复出现或者在不同位置出现,并不影响这俩集合表示的意义一致
集合之上
集合之上咱们定义了一些运算,交并补,大家都很熟悉了。
然后算着算着总结出:交并补具有交换律结合律和分配律,照我的理解,这三律能用
还总结出个个对偶律,又叫德摩根律,是关于补集(一个集合
这里给出原形式,可以对照对照口诀和
有限集和无限集
字面意思,不过无限集还有个小细项,叫可列集,意思是能用某个规律把集合元素排成一个序列,想把一个无限集证明成可列集,关键在于给它设计一种排列的规则,让集合元素按照这种排列规则能不重不漏排成一列。这个挺有意思的,给集合以【序】。
乘积集合
显然这和组合数学有关系,分步乘法的感觉。
搞起实数来,实数数对可以和二维平面一一对应,这是平面解析几何的理论基础。
高维情况比如
映射与函数
映射
我们接着规定,映射是两个集合之间的一种对应关系,学计算机的可能喜欢用哈希一类的词描述这种感觉。
记为
一元实函数
一元实函数是指从一个实数集合
形式化定义为: $ f: X \to \mathbb{R} , x \mapsto f(x)
初等函数
- 常数
- 幂
- 指
- 对
- 三角
- 反三角
- 由以上六种函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数
函数的分段表示、隐式表示、参数表示
就是几个名字,在不好写成
分段表示就是分定义域讨论
隐式表示就是搞成方程的样子
参数表示就是拿第三个变量,可能是
函数的简单特性
- 有界性:函数不会大于或者小于某个界限值。
- 单调性:函数会朝着上面或者下面走不会掉头。
- 奇偶性:函数关于原点中心对称叫奇函数,关于
轴对称叫偶函数。 - 周期性:函数重复某一段的值
两个常用不等式
三角不等式:原理是三角形两边之和大于第三边,所以叫这个名,不过代数化之后,呈现为一个绝对值的不等式
基本不等式:
习题
高中数学不错的话,这节不难,不找题了,没必要
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