【数学分析】第一章笔记

集合与映射

集合

集合是什么

是个方便后续研究和讨论的工具,我们先拿出来说说,有个感觉,后面讨论的时候觉得不对了,就可以一路找到最初这些定义。

当然,一般没人这么较真,除了数学家

我们规定:

  • 集合元素在集合中

  • 集合元素是无序的,对于俩集合判等问题,重复出现或者在不同位置出现,并不影响这俩集合表示的意义一致

集合之上

集合之上咱们定义了一些运算,交并补,大家都很熟悉了。

然后算着算着总结出:交并补具有交换律结合律分配律,照我的理解,这三律能用Venn图导出。

还总结出个个对偶律,又叫德摩根律,是关于补集(一个集合A关于C的补集写作AC)的,按计算机的思维,把补集解释成“求反”,用口诀记忆起来就很方便了:并之反等于反之交,交之反等于反之并。

这里给出原形式,可以对照对照口诀和Venn图理解:

(AB)C=ACBC(AB)C=ACBC

有限集和无限集

字面意思,不过无限集还有个小细项,叫可列集,意思是能用某个规律把集合元素排成一个序列,想把一个无限集证明成可列集,关键在于给它设计一种排列的规则,让集合元素按照这种排列规则能不重不漏排成一列。这个挺有意思的,给集合以【序】。

Descartes乘积集合

AB是两个集合,A中任取一个xB中任取一个y,组成有序对(x,y)

显然这和组合数学有关系,分步乘法的感觉。

搞起实数来,实数数对可以和二维平面一一对应,这是平面解析几何的理论基础。

高维情况比如R3,都是可以的,扩展起来很方便。

映射与函数

映射

我们接着规定,映射是两个集合之间的一种对应关系,学计算机的可能喜欢用哈希一类的词描述这种感觉。

记为f:XY,xy=f(x)

一元实函数

一元实函数是指从一个实数集合 XR映射到实数集合 Y=R 的函数。

形式化定义为: $ f: X \to \mathbb{R} , x \mapsto f(x) y=f(x)$

初等函数

  • 常数
  • 三角
  • 反三角
  • 由以上六种函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数

函数的分段表示、隐式表示、参数表示

就是几个名字,在不好写成y=f(x)的时候用这几个方法表示

分段表示就是分定义域讨论

隐式表示就是搞成方程的样子

参数表示就是拿第三个变量,可能是t什么的来表示xy

函数的简单特性

  • 有界性:函数不会大于或者小于某个界限值。
  • 单调性:函数会朝着上面或者下面走不会掉头。
  • 奇偶性:函数关于原点中心对称叫奇函数,关于y轴对称叫偶函数。
  • 周期性:函数重复某一段的值

两个常用不等式

三角不等式:原理是三角形两边之和大于第三边,所以叫这个名,不过代数化之后,呈现为一个绝对值的不等式

基本不等式AMGM不等式,口诀是”调几算方“那个,然后还能扩展至n阶的情况,有空更一下《不等式的秘密》那本书的笔记吧,那本很不错

习题

高中数学不错的话,这节不难,不找题了,没必要

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