Algorithm Gossip (15) 筛选求质数(Eratosthenes )
前言
This Series aritcles are all based on the book 《经典算法大全》; 对于该书的所有案例进行一个探究和拓展,并且用python和C++进行实现; 目的是熟悉常用算法过程中的技巧和逻辑拓展。
提出问题
15.Algorithm Gossip: 筛选求质数(Eratosthenes )
说明
除了自身之外,无法被其它整数整除的数称之为质数.
筛选原理
逐步选出小质数对应的集合元素, 直到筛选质数到 sqrt(N)。
分析和解释
计算素数的一个方法是埃氏筛法,它的算法理解起来非常简单:
首先,列出从2开始的所有自然数,构造一个序列:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …
取序列的第一个数2,它一定是素数,然后用2把序列的2的倍数筛掉:
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …
取新序列的第一个数3,它一定是素数,然后用3把序列的3的倍数筛掉:
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …
取新序列的第一个数5,然后用5把序列的5的倍数筛掉:
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …
不断筛下去,就可以得到所有的素数。
用Python来实现这个算法,可以先构造一个从3开始的奇数序列:
代码
C语言有待改进的示例
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 1000
int main(void) {
int i, j;
int prime[N+1];
for(i = 2; i <= N;i++)
prime[i] = 1;
for(i = 2; i*i <= N;i++) {
if(prime[i] == 1) {
for(j = 2*i; j <= N;j++) {
if(j % i == 0)
prime[j] = 0;
}
}
}
for(i = 2; i < N;i++) {
if(prime[i] == 1) {
printf("%4d ", i);
if(i % 16 == 0)
printf("\n");
}
}
printf("\n");
return 0;
}
python 的 fitter 实现
def _odd_iter():
n = 1
while True:
n = n + 2
yield n
# 筛选函数
def _not_divisible(n):
return lambda x: x % n > 0
#生成器, 不断返回素数
def primes():
yield 2
it = _odd_iter() # 初始序列
while True:
n = next(it) # 返回序列的第一个数
yield n
it = filter(_not_divisible(n), it) # 构造新序列
##主函数
for n in primes():
if n < 1000:
print(n)
else:
break
PS, 对 fitter , yied 不熟悉的可以百度了解下生成器和迭代器。
yied 主要用于不断生成目标返回到元组的一种append方式 -> 生成器, fitter 为删选机制。
拓展和关联
后记
参考书籍
- 《经典算法大全》
- 维基百科