CodeForces R.628 D

CodeForces Round 628 D题

给出两非负整数 \(u, \,v\)
求一数组\(a_1,a_2,...,a_n\)，
使得
\(1\)数组长度最小
\(2\) \(a_1+a_2\,+\,...\,+\;a_n=v\) 且 \(a_1\oplus a_2 \,\oplus ... \oplus\; a_n=u\)

此题需了解以下位运算性质：

\(Attr.1\)

\[a+b=a \oplus b + 2 * (a\,\&\,b) \]

简单的说，xor加法如果两数都为1则该位变0，而加法该位变为2（在二进制下进位），所以加法与xor加法的区别就是两倍的\(a\,\&\,b\)。

\(Attr.2\)

\[a\,\&\,b=0 \iff a\oplus b=a+b \]

1的推论。

\(Attr.3\)

\[a \oplus b=0 \iff a=b \]

\(Attr.4\)

\[(a \oplus b) \oplus a = b \]

回到问题。
当 \(u, \,v\)奇偶性不同时，易证无解。
当奇偶性相同时，容易得到一组构造解：\([\;s,s,u\;]\)，其中\(s=\dfrac{v-u}{2}\) \(\quad\because (A.3)\)
问题就简化为

\(Problem.1\)

能否找到一组解\([\;x,y\;]\)，使得

\[\begin{cases} x \oplus y = \,u\\ x + y \,= \,v \end{cases}\]

答案是：取决于\(u \,\& \,s\)

将问题转化一下，利用性质1得到新的问题

\(Problem.2\)

\[\begin{cases} x \oplus y = \,u\\ x \,\& \,y \,= \,s \end{cases}\]

设\(a_i=(a>>i)\,\&\,1\)，即\(a_i\)表示\(a\)的第\(i\)位二进制码。
此时 \(s_i=1 \Rightarrow x_i=1 , y_i=1\)
而\(x_i=1,y_i=1 \Rightarrow u_i \not= 1\)
所以当\(u_i=1,s_i=1\)时不存在解。

最后，当\(u\&v=0\)时，
解\([u+s,s]\)成立。\(\quad \because (A.2)\)