数论知识
转载于：http://blog.csdn.net/xieshimao/article/details/6425099
断断续续的学习数论已经有一段时间了，学得也很杂，现在进行一些简单的回顾和总结。
学过的东西不能忘啊。。。
1、本原勾股数：
概念：一个三元组(a,b,c)，其中a,b,c没有公因数而且满足：a^2+b^2=c^2
首先，这种本原勾股数的个数是无限的，而且构造的条件满足：
a=s*t,b=(s^2-t^2)/2,c=(s^2+t^2)/2
其中s>t>=1是任意没有公因数的奇数！
由以上概念就可以导出任意一个本原勾股数组。
2、素数计数（素数定理）
令π(x)为1到x中素数的个数
19世纪最高的数论成就就是以下这个玩意儿：
lim(x->∞){π(x)/(x/ln(x))}=1
数论最高成就，最高成就！！！有木有！！！
3、哥德巴赫猜想(1+1)
一个大偶数(>=4)必然可以拆分为两个素数的和，虽然目前还没有人能够从理论上进行证明，不过我根据科学家们利用计算机运算的结果，如果有一个偶数不能进行拆分，那么这个偶数至少是一个上百位的数！！
所以在ACM的世界中（数据量往往只有2^63以下）哥德巴赫猜想是成立的！！所以拆分程序一定能够实现的
4、哥德巴赫猜想的推广
任意一个>=8的整数一定能够拆分为四个素数的和
证明：
先来说8=2+2+2+2，（四个最小素数的和）不能再找到比2小的素数了，所以当n小于8，就一定不可能拆分为四个素数的和！
那么当n大于等于8，可以分情况讨论：
（1）n&1==0(n为偶数)，那么n就一定可以拆分为两个偶数的和
那么根据哥德巴赫猜想，偶数可以拆分为两个素数的和，于是，n一定可以拆分为四个素数的和
（2）n&1==1(n为奇数)，n一定可以拆分为两个偶数+1
由于有一个素数又是偶数，2，那么奇数一定有如下拆分：2+3+素数+素数
得证。
5、欧拉函数（欧拉公式）
欧拉函数ph(n)的意思是所有小于n且与n互质的数的个数
比如说ph(12)=4,[1,5,7,11与12互质]
欧拉公式
a^ph(m)=1(mod m)
6、费马小定理
费马小定理是欧拉公式的一种特殊情况
由于当p为质数的时候ph(p)=p-1这是显然的
那么带入欧拉公式就得到了费马小定理
a^(p-1)=1(mod p)
p为质数(prime)
7、抽屉原理
抽屉原理其实是废话，关键在于运用
这句废话是说，如果现在有3个苹果，放进2个抽屉，那么至少有一个抽屉里面会有两个苹果，这个很废话。
8、抽屉原理的运用
抽屉原理本身只是一句废话，不过他的运用却非常强大
现在假设有一个正整数序列a1,a2,a3,a4.....an，试证明我们一定能够找到一段连续的序列和，让这个和是n的倍数，该命题的证明就用到了抽屉原理
我们可以先构造一个序列si=a1+a2+...ai
然后分别对于si取模，如果其中有一个sk%n==0，那么a1+a2+...+ak就一定是n的倍数（该种情况得证）
下面是上一种情况的反面，即任何一个sk对于n的余数都不为0
对于这种情况，我们可以如下考虑，因为si%n!=0
那么si%n的范围必然在1——（n-1），所以原序列si就产生了n个范围在1——（n-1）的余数，于是抽屉原理就来了，n个数放进n-1个盒子里面，必然至少有两个余数会重复，那么这两个sk1,sk2之差必然是n的倍数，
而sk1-sk2是一段连续的序列，那么原命题就得到了证明了
9、判断n!是否能够被m整除
计算方法是把m进行质因数分解，看下m的每一个质因数是否能够在n!中找到；
n!中间包含了多少个x(x是任意的一个数，不过一般情况下我们都只讨论x为质数)，这种问题的答案是：
n/x+n/(x^2)+n/(x^3).....[一直加到x的乘方不超过n]，这个定理的证明也非常的简单，这里就不再赘述了
根据以上观点，就可以分别计算m的每一个质因数是否被完全包含，如果有一个没有被包含，那么就不能被整除！
10、因子和的计算方法
神马叫因子和：一个数的所以因子的和就叫因子和。。。
好吧，举个例子：12的因子和为：1+2+3+4+6+12
计算方法是把12分解为质因数的表达形式2^2*3
那么他的因子和就是：(1+2+2^2)*(1+3)
证明写起来比较麻烦，大体上思路就是牛顿二项式。。。
11、判断组合数C(n,m)的奇偶性
有一个我也不知道证明的方法
当n&m==m为奇数，反之就是偶数
poj 2319
/*
* poj3219.c
*
* Created on: 2011-9-19
* Author: bjfuwangzhu
*/
#include<stdio.h>
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
int n, k;
while (~scanf("%d %d", &n, &k)) {
puts((n & k) == k ? "1" : "0");
}
return 0;
}
杨辉三角 N行（N=0开始）的奇数的个数2^K（K为N的二进制中1的个数）
某行全为奇数行为2^N-1(N=0开始)
杨辉三角和素数
hdu 3304 pku 3146
来源于：http://blog.csdn.net/swordholy/article/details/5516352
等价于C（n,m）%p==0求m的个数
n!/(m!*(n-m)!)%p==0
N!中p的因子个数等于m！与（n-m）！中的p的因子和
即f(n) ==f(m)+f(n-m) //f(n)表示n!所含有的因子数
F(n)=n/p+n/(p^2)+....
即：
n/p+n/p^2+...=m/p+m/p^2+..+(n-m)/p+(n-m)/p^2+... (1)
又因为n/p^i>=m/p^i+(n-m)/p^i,
所以等价于对任意i都有n/p^i =m/p^i+(n-m)/p^i (2)
N=n/p^i*p^i+n%p^i(注意这里所有的除法都是整除)
(2)两边都乘以p^i
n-n%p^i=m-m%p^i+n-m+(n-m)%p^i
n%p^i-m%p^i+(n-m)%p^i>=0
又等价于 m%(p^i)<=n%(p^i) (3)对任意正整数i都成立。(//从2到3这个一步相当的重要,是本题的一个关键点)
将n和m分别写成P进制数 n0,n1,n2,n3,n4,.... m0,m1,m2,m3,m4,....
根据（3）可以由数学归纳法得到，对于任意位上的ni都大于等于mi
当i=0;显然成立
假设i=k成立，当i=k+1时
因为m%(p^k)<=n%(p^k)
n(k+1)nk..n1=n(k+1)(nk%(p^k))(表示按p进制摆放)
所以要保证n%（p^(k+1)）>=m%(p^(k+1))
必须保证最高位即n(k+1)>=m(k+1)
即(3)成立的充要条件就是 m0<=n0, m1<=n1 ....
所以m的可取值个数就是(n0+1)*(n1+1)*(n2+1)......
/*
* hdu3304.c
*
* Created on: 2011-9-9
* Author: bjfuwangzhu
*/
#include<stdio.h>
#define nmax 10000
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("data.in", "r", stdin);
#endif
int P, N, res, cas;
cas = 0;
while (scanf("%d %d", &P, &N) != EOF,P || N) {
res = 1;
while (N) {
res *= (N % P + 1);
res %= nmax;
N /= P;
}
printf("Case %d: %04d\n", ++cas, res);
}
return 0;
}
12、中国剩余定理(孙子定理，韩信点兵，等等都是说的一个东西)
这个问题处理的是同余方程
假设
x%a1=b1
x%a2=b2
x%a3=b3
.....
x%an=bn
a,b必须互质，否则就不是中国剩余定理了
我们可以先求一个M=a1*a2*a3*a4.....*an
然后对于每一个方程都求一个顺元m
m[i]=M/a[i]
然后再求每一个方程的逆元re_m
re_m[i]={m[i]^(ph(a[i])-1)}%a[i]
最后我们可以得到的解就是x={sigma(re_m[i]*m[i]*b[i])}%M
神马顺元，逆元的，虽然名字很高端，其实就那么回事，看懂了就行了
就总结到这儿了。
以前大一也总结过一片类似的，不过那时候之总结了一点关于欧几里得算法之类的。
——bingshen
