2022 nowcoder牛客多校6 C.Forest

problem

给你一个n<=16的图，求所有生成子图的最小生成森林边权之和。

solution

按照边权枚举每条边的贡献。
考虑[1,i-1]的边权和[i+1,m]的边权。
后者的边权可以随便拿，$2^{m-i}$
考虑前者，当一个子图的u和v已经联通了，就是没有贡献的，其他的情况则都会有贡献。
用总的方案$2^i$减去这种情况的。
维护一个f[i][S]来表示用$1i$的边来让S集合联通的方案数。

tips

枚举子集的子集$O(n^3)$

    for(int S = 0; S < (1 << n); ++i)
		for(int T = S; T; T = (T - 1) & S)      

code

#include <bits/stdc++.h>
#define FOR(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
using namespace std;
const int _ = 1 << 17;
const int mod = 998244353;
int n, m, ans, a[20][20], pw[_]={1}, h[_], f[_], cnt[_];
array<int,3> e[_];
bool in(int x, int S) {return (S >> x) & 1;}
int main() {
    #ifdef ONLINE_JUDGE
    #else
        freopen("a.in","r",stdin);
    #endif
    cin >> n;
    FOR(i, 0, n - 1) FOR(j, 0, n - 1) {
        cin >> a[i][j];
        if(i < j && a[i][j]) e[++m] = {a[i][j], i, j};
    }
    FOR(S, 0, (1 << n) - 1) f[S] = __builtin_popcount(S) == 1;
    FOR(i, 1, m) pw[i] = 2ll * pw[i - 1] % mod; 
    sort(e + 1, e + 1 + m);
    int U = (1 << n) - 1;
    FOR(i, 1, m) {
        auto [q, u, v] = e[i];
        int tot = pw[i - 1];
        FOR(S, 0, (1 << n) - 1) h[S] = f[S];
        FOR(S, 0, (1 << n) - 1) if(in(u, S) && in(v, S)) {
            tot -= 1ll * f[S] * pw[cnt[U - S]]% mod;
            tot = (tot % mod + mod) % mod;
            h[S] = (h[S] + f[S]) % mod;
            for(int T = S; T; T = (T - 1) & S) {
                if(T == S || T == 0 || T < (S - T)) continue;
                if(in(u, T) == in(v, T)) continue;
                h[S] = (h[S] + 1ll * f[T] * f[S - T] % mod) % mod;
            }
        }
        FOR(S, 0, (1 << n) - 1) cnt[S]+=(in(u, S) && in(v, S));
        ans = (ans + 1ll * tot * pw[m - i] % mod * q %mod) % mod;
        FOR(S, 0, (1 << n) - 1) f[S] = h[S];
    }
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}