关于单源最短路径的问题

在此之前一直在看图算法，但是看的多了不免会有些混淆，今天我就算是进行一次自我总结吧。

单源最短路径算法1：Dijkstra 算法

这个算法是处理单元最短路径问题的，他的本质是一种贪心算法。

实现：　

将图G中所有的顶点V分成两个顶点集合S和T。以v为源点已经确定了最短路径的终点并入S集合中，S初始时只含顶点v,T则是尚未确定到源点v最短路径的顶点集合。然后每次从T集合中选择S集合点中到T路径最短的那个点，并加入到集合S中，并把这个点从集合T删除。直到T集合为空为止。

具体步骤

1、选一顶点v为源点，并视从源点v出发的所有边为到各顶点的最短路径（确定数据结构：因为求的是最短路径，所以①就要用一个记录从源点v到其它各顶点的路径长度数组dist[],开始时，dist是源点v到顶点i的直接边长度，即dist中记录的是邻接阵的第v行。②设一个用来记录从源点到其它顶点的路径数组path[],path中存放路径上第i个顶点的前驱顶点）。

2、在上述的最短路径dist[]中选一条最短的，并将其终点（即<v,k>）k加入到集合s中。

3、调整T中各顶点到源点v的最短路径。 因为当顶点k加入到集合s中后，源点v到T中剩余的其它顶点j就又增加了经过顶点k到达j的路径,这条路径可能要比源点v到j原来的最短的还要短。调整方法是比较dist[k]+g[k,j]与dist[j]，取其中的较小者。

4、再选出一个到源点v路径长度最小的顶点k,从T中删去后加入S中，再回去到第三步，如此重复，直到集合S中的包含图G的所有顶点。

　　

代码的实现：

int cost[MAX_V][MAX_V] ;//cost[u][v]表示边e=(u,v)的权值
int d[MAX_V] ;//顶点S出发的最短距离
bool used[MAX_V] ;//已经使用过的点
int V ;//顶点数
void dijkstra(int s)
{
    fill(d,d+V,INF);
    fill(used,used+V,false);
    d[s]=0;
    while(true)
    {
        int v=-1;
        for(int u=0;u<V;u++)
        {
            if(!used[u]&&(v==-1||d[u]<d[v]))
            v=u;
        }
        if(v==-1)    break;
        used[v]=true;
        for(int u=0;u<V;u++)
        {
            d[u]=min(d[u],d[v]+cost[v][u]);
        }
    }
}

下面是利用优先队列实现的

struct edge{
    int to,cost;
};
typedef pair<int,int> P;
int V;
vector<edge>G[MAX_N];
int d[MAX_N];
void dijkstra(int s)
{
    priority_queue<P,vector<P>,greater<P> > que;
    fill(d,d+v,INF);
    d[s]=0;
    que.push(P(0,s));
    while(!que.empty())
    {
        P p=que.top();que.pop();
        int v=p.second;
        if(d[v]<p.first)    continue;
        for(int i=0;i<G[v].size();i++)
        {
            edge e=G[v][i];
            if(d[e.to]>d[v]+e.cost)
            {
                d[e.to]=d[v]+e.cost;
                que.push(P(d[e.to],e.to));
            }
        }
    }
}

单源最短路径算法2 Bellman-Ford：

　　由于dijkstra算法不能处理带有负数权值变得问题，所以还要学会一种能够处理负数权值边问题

　　这个算法算是一种动态规划算法。

struct edge{
    int from,to,cost;
};
edge es[MAX_N];
int d[MAX_N];
int V,E;
void short_path(int s)
{
    for(int i=0;i<V;i++)    d[i]=INF;
    d[s]=0;
    while(true)
    {
        bool update=false;
        for(int i=0;i<E;i++)
        {
            edge e=es[i];
            if(d[e.from]!=INF&&d[e.to]>e.cost+d[e.from])
            {
                d[e.to]=e.cost+d[e.from];
                update=true;
            }
        }
        if(!update)    break;
    }
}