平面的切割

这是一个有趣的问题。编程之美1.7节进行了探讨。其中解法二的思路非常巧妙。其用到的找逆序数算法是merge sort的变形，也很常见。最后的代码是这个算法的一份实现。

这里则要从一个不同的角度来考虑这个问题。作者在分析分割的区域时，得到了这样的公式: F = N+M+1，其中N为直线数，M为交点数。作者的思路简明清晰。这里则要采用另外一个思路来给出这个公式。

考虑著名的欧拉公式：F = E - V + 2。我们可以假想两条垂线在无穷远处重合，从而构成一个长轴是无穷大的椭圆区域，如下面的图所示。只考虑区域内的线段，再将区域外想象成为一个面，则整个图形构成一个压平的多面体。其顶点就是这些线条的交点，边就是交点分割出来的线段，分割出来的区域就是面。于是，我们要求的分割区域数即F - 1 = E - V + 1。

现在，仍然假设已知直线数N和交点数M，试计算E和V，从而获得F。对于V，除了交点还有直线与边界的两个交点。故有 V = M + 2N。再考虑E。对于每一个交点，都有4条边与之对应。处于交点之间的边均被两边的交点各计算一次，共两次，而边缘的边仅计算了一次。另外，E中还包含边界上分割而成的边。边界上共有2N条边，边缘边也共2N条，从而交点边共E-4N条。根据上面交点和边的关系有：2(E-4N) + 2N = 4M，即E = 2M + 3N。带入欧拉公式即得F = N+M+1。

注意以上的推理过程并没有关于直线不能与Y平行的约束。所以即使有这样的直线，结果也是成立的。

template<class It>
size_t count_inversions(It first1, It last1, It first2, It last2) {
    size_t r = 0;
    while (first1 != last1 && first2 != last2)
        if (*first1 <= *first2) ++first1;
        else r += distance(first1, last1), ++first2;
    return r;
}

template<class It>
size_t count_inversions(It first, It last) {
    size_t d = distance(first, last);
    if (d < 2) return 0;

    It middle = first;
    advance(middle, d/2);
    size_t r = count_inversions(first, middle) + count_inversions(middle, last)
        + count_inversions(first, middle, middle, last);
    inplace_merge(first, middle, last);

    return r;
}

int main() {
    int n;
    while (cin>>n) {
        if (!n) break;
        vector<int> vec;
        while (n--) *back_inserter(vec) = *istream_iterator<int>(cin);
        cout<<count_inversions(vec.begin(), vec.end())<<'\n';
    }
    return 0;
}