最长公共子序列--动态规划入门

求两个序列 X{1，2， 5， 4， 。。。}和Y{1， 5， 4，，，，}中最长的共有序列。 例如X = {A，B， C， B，D, A， B}， Y={B，D，C，A，B，A} 两者的最长公共子序列为 {B，C，B， A}

分析：

这个问题是否可以分成一段一段处理呢？ （即可否找出递归结构， 可见递归很重要， 也许你感觉它很基础，其实它很深奥！）。我们从X，Y的最后一个元素来考虑， 若X的最后一个元素在最长子串中（即它对最长子串有贡献）， 那么有两种情况， 它和Y的最后一个元素相同， 或它与Y最后一个对最长子串有贡献的元素相等（你也许会说， 这个SB也知道， 但它偏偏很重要）。 另 c[i][j] 记录从 Xi和Yj的公共最长子序列。（这类题都是他妈的，这一个怂样，不要问我为什么）。

于是乎， 关键的递归公式横空出世。

                       当 i= 0， 或 j = 0 时， c[i][j ] = 0;

　　　　　　　　当i, j>0, xi = yj   时， c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;

                       当i,j>0, xi != yj  时， c[i][j] = {c[i][j-1], c[i-1][j]}  --->就是由那个SB都知道的东西推来的！！嘿嘿！

 

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn = 100+5;
int b[maxn][maxn];
char x[maxn], y[maxn];
//用b[][]来记录取得最优值的路径。 
int lcsLength(char x[maxn], char y[maxn], int b[maxn][maxn])//计算最优解。 
{
    int m = x.length - 1;
    int n = y.length - 1;
    int c[m+1][n+1];
    for(int i=1; i<=m; i++) c[i][0] = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++) c[0][i] = 0;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    for(int j=1; j<=n; j++)
    {
        if(x[i]==y[j])
        {
            c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
            b[i][j] = 1;                   
        }
        else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
        {
            c[i][j] = c[i-1][j];
            b[i][j] = 2;
        }
        else
        {
            c[i][j] = c[i][j-1];
            b[i][j] = 3;
        }
    }
    return c[m][n];
}

//构造最优子序列。
void lcs(int i, int j, char x[maxn], int b[maxn][maxn])
{
    if(i==0||j==0) return;
    if(b[i][j]==1)
    {
        lcs(i-1, j-1, x, b);//又是递归， 看到了吧！！ 
        printf("%c", x[i]);
    }
    else if(b[i][j]==2) lcs(i-1, j, x, b);
    else lcs(i, j-1, x, b);
} 

int main()
{
    /* 读入字符串x,y时从1读*/
}