欧拉函数

        欧拉函数：即求1到正整数n之间与n互质的数的个数。（特别的， 当 n = 1 时， 数目F（n） = 1） 。

        现在分析一下， 当n大于1时的情况， 当 n 为素数时， 很显然 F（n） = n-1 。当n不是素数时，有唯一分解定理可知， n 可以分解成 几个 素数 乘积的形式。例如

 4 = 2 * 2， F(2) = 1;  对于 2^(n+1)  在每一个 F(2^(n+1)) = 2^n * F(2) (想一想为什么？ 例如 F（5） = 4， 这 4 个数分别为 1， 2， 3， 4 。 则， 1+5， 2+5， 3+5， 4+5， 1+（2*5），，，4+（4*5）一定和25互质， 则 F（25） = 5*F（5） = 4*5 = 20)   又因为 欧拉函数是积性函数（这个证明较为繁琐， 在此略去！）

所以， n = a^(i+1)* b^(j+1),,,  则 F（n） = F(a)*a^i  *  F(b)*b^j,,,

 

详见代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

int eular(int n)
{
    int ret = 1, i;
    for(i=2; i*i<=n; i++)
        if(n%i==0)
        {
            n/=i, ret*=i-1;
            while(n%i==0)
            n/=i, ret*=i;
        }
        if(n>1)
        ret*=n-1;
        return ret;
}

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n)!=EOF)
    {
        n=eular(n);
        printf("%d\n", n);
    }
    return 0;
}

 

《2》线性筛选--欧拉函数

//线性筛法求解极性函数（欧拉函数）
memset(check, false, sizeof(check));
fai[1] = 1;
int tot = 0;
for(int i=2; i<=N; i++)
{
    if(!check[i])
    {
        prime[tot++] = i;
        fai[i] = i-1;
    }
for(int j=0; j<tot; j++)
{
    if(i*prime[j]>N) break;
    check[i*peime[j]] = true;
    if(i%prime[j]==0)
    {
        fai[i*prime[j]] = fai[i]*prime[j];
        break;
    }
    else
    {
        fai[i*prime[j]] = fai[i]*(prime[j]-1);
    }
}
}