关于概率期望
概率期望
感谢gzy学长
先说几个基础概念
（本人是这样理解的）
随机现象 ： 有概率出现的现象，比如明天会下雨
必然现象 ： 一定会出现的现象，比如acioi天下第一帅太阳会从东边升起
样本空间 ：是一个集合，一般用S表示，包括全部能够出现的现象
元素 ：一般用e来表示，某个能够出现的现象，\(e \in S\)
随机事件 ： 和元素意义差不多都是S里面的，一般用A表示，包含多个元素
集合运算 ：(全集为S)
1. \(A\bigcup B\) ：A与B里面的元素至少一个发生就可以
2. \(A\bigcap B\) ：发生的元素在A中也在B中，还可以表示为\(A·B\),\(AB\)
3. \(A-B\) ： 属于A但是并不属于B的，也就是A和B中，A独有的
4. \(\overline{AB}\)：\(\{e\notin A \bigcap B\}\)
P(A)：事件A发生的概率
随机变量：有多种可能的取值变量，一般设为X
概率怎么求
随机时间A发生的概率怎么求呢？
随机时间A发生的概率先用P(A)表示出来
A里面可能包含多个元素，只要A里面的元素中有一个发生了，那么就是A发生了，随意A发生的概率就是A中所有的元素发生的概率和，即为：
概率的性质
1.\(1 \ge P(A) \ge 0\)
因为一件事最低的概率就是不发生，也就是0，所以概率最低就是0，最高是一定发生，所以概率最高就是1
2.\(\sum\limits_{e\in S}P(e) = 1\)
全集S中的每一件事的概率加起来一定是1，因为不管发生S中的任意一件事，都在S里面，所以S的概率就是100%，也就是1，里面的每一个元素发生的概率都是这个100%里面的一部分
3.\(P(\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}A_i) = \sum\limits_{i-1}^{\infty}P(A_i)\)
(\(A_i\)两两互斥)
很显然，只是一个先后顺序的转换，可以看成是今天你打算做n道菜，等于号前面的就是你先把n道菜做完再一起吃，等于号后面就可以看成你做完一道菜就吃一道菜。
古典概型
如果每一个元素出现的概率均等的话，那S里面任意一个元素出现的概率就是S的大小分之1
还是上面的那个条件，每一个元素出现的概率均等，那么A集合出现的概率就是A集合中的元素个数除以S集合中的元素个数
再说几个基础概念
独立事件：互不影响，满足\(P(A*B) = P(A) * P(B)\)
E(X)：表示X事件发生的期望
对于独立事件：\(E(A\times B) = E(A) \times E(B)\)
随机变量的期望值
对于随机变量X，有公式：
什么意思呢？
假设每一个随机变量x都有自己的值，\(X_i\)对应的随机变量值就是i，那么这个数的期望值就是\(X_i\)这个随机变量出现的概率乘以他的值，即为上面的公式
随机变量小例题
求2次骰子投掷出的点数和的期望值
只需要枚举两个骰子投掷出的点数，他们的期望值就是这个情况出现的几率乘以这个点数和
\(E(X_1 + X_2) = \sum\limits_{i=1}^6\sum\limits_{j=1}^6P(X=i)P(X=j)(i+j)\)
期望的线性性
证明:
(再次感谢gyh小学妹,感谢gzy学长)
（下面是分布来介绍的，如果觉得自己可以，看后面完整连贯无解释版的）
\(E(X+Y)=\sum\limits_{i=1}\sum\limits_{j=1}P(X=i)P(X=j)(i+j)\)
\(=\sum\limits_{i=1}\sum\limits_{j=1}(i\times P(X=i)\times P(X=j)+j\times P(X=i)\times P(X=j))\)
\(=\sum\limits_{i=1}i\times P(X=i)\times P(X=j) + \sum\limits_{j=1}j\times P(X=i)\times P(X=j))\)
因为
\(E(X) = \sum\limits_{i=1}P(X=i) \times i\)
\(E(Y) = \sum\limits_{i=j}P(Y=j) \times j\)
所以上面没有完成的式子
\(=E(X)\times P(X=j) + E(Y)\times P(Y = i)\)
这个时候有用到了一开始的
\(\sum\limits_{e\in S}P(e) = 1\)
而\(P(X=i)\)的意思就是S集合里面的全部数的概率加起来
\(P(Y=j)\)等同，这两个都和\(\sum\limits_{e\in S}P(e)\)的意思一样，所以都等于1
所以再一次继续没完成的式子:
\(=E(X)\times 1 + E(Y) \times 1\)
\(=E(X) + E(Y)\)
完整连贯无解释版
\(E(X+Y)=\sum\limits_{i=1}\sum\limits_{j=1}P(X=i)P(X=j)(i+j)\)
\(=\sum\limits_{i=1}\sum\limits_{j=1}(i\times P(X=i)\times P(X=j)+j\times >P(X=i)\times P(X=j))\)
\(=\sum\limits_{i=1}i\times P(X=i)\times P(X=j) + \sum\limits_{j=1}j\times >P(X=i)\times P(X=j))\)
\(=E(X)\times P(X=j) + E(Y)\times P(Y = i)\)
\(=E(X)\times 1 + E(Y) \times 1\)
\(=E(X) + E(Y)\)
期望步数
期望步数我也不知道到底有没有这么一个定义，是我自己理解的
指的是期望第一次发生
概率为P的时间期望\(\dfrac {1}{p}\)次后发生
对于离散变量X
对于离散变量X，\(P(X=k)=P(X\le k) - P(X\le{k-1})\)
期望的线性性小例题
n个随机变量X[1……n]，每个随机变量都是从1-S中随机一个整数求Max(X[1……n])的期望
Max(X[1……n])指的是这一段数中最大的数
\(E(Max(X[1……n])) = \sum\limits_{i=1}^SP(Max(X[1……n]) = i) \times i\)
\(=\sum\limits_{i=1}^S[P(M\le i) - P(M\le {i-1})] \times i\)
\(=\sum\limits_{i=1}^S[(\dfrac{i}{S})^n - (\dfrac{i-1}{S})^n] \times i\)
先解释一下第一步，为什么出来了\(P(M\le i) - P(M\le {i-1})\)，这就用到了前缀和的思想了，\(P(M\le i) - P(M\le {i-1}) = P(M=i)\)这很显然就是正确的，所以原式到第一步没有问题，但是这样做有什么意义呢？
不着急，且看第二步
这样看一下，\(P(M\le i)\)的概率，先看\(P(M\le i)\)，就是每一个数都是小于等于i的情况那么一位是小于等于i的概率就是\(\dfrac{i}{S}\)，所以n位都小于等于i的概率就是\((\dfrac{i}{S})^n\)，同理\((\dfrac{i-1}{S})^n\)也可以求出来了。
\(P(Max(X[1……n]) = i)\)是很难求的，但是进行完第一步之后就很好算了，这就是第一二步的意义所在了。
例题摘选
（名字是我自己取的不喜勿喷）
1. 凑齐整数
每次随机一个[1,n]的整数，问期望几次能够凑齐所有的整数
令：\(A_i\)表示凑完了\(i-1\)个数，凑第\(i\)的期望步数
一共有\(n\)个数，凑完了\(i-1\)个，那就还有\(n-(i-1)\)个数，即\(n-i+1\)个数没有出现，所以第\(i\)个位置出现一个之前没有出现过的数的概率就是\(\dfrac{n-i+1}{n}\)，所以期望步数就是\(\dfrac{1}{p}\)，等于\(\dfrac{n}{n-i+1}\)
式子：
2.当老大的概率
随机一个长度为n的排列P，求P[1……i]中P[i]是最大数的概率
只有两种可能P是最大数，P不是最大数，所以概率就是\(\dfrac{1}{2}\)
.........
很无语，虽然这么思考百分之99都是错误的，但是用在这里刚好合适，等价的思想，嗯。
3.谁在前面谁在后面
随机一个长度为n的排列P，求i在j后面的概率
嗯，又是和上面一样只有两种可能i在j前面和i在j后面，所以可能性又是
\(\dfrac{1}{2}\)，等价的思想。
不过想要严格证明一下也是可以的：
n个数里面取2个数，剩下的直接拍序，组合的方式是(n-2)的阶乘种，然后总的方案数是n!种，所以概率就是n个数里面取2个数的方案乘以(n-2)!再除以n!，不过单纯的取2个数有i在j前面也有i在j后面的可能，各占一半的概率，所以再除以2就是最后的结果了。
