竞赛图的一些性质

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定义

竞赛图 : $\binom n 2$ 条边的有向图 (完全图)

定理 1

竞赛图强连通缩点后的DAG呈链状, 前面的所有点向后面的所有点连边

证明 : 考虑归纳, 逐连通块加入
目前有一条链, 插入一个新连通块x
如果x连向所有点, 放在链头
如果所有点连向x, 放在链尾
否则x的出边一定都在x的入边的后边 (否则成环)
找到分界点, 把x插在中间即可

定理 2

竞赛图的强连通块存在一条哈密顿回路

证明 : 考虑归纳, 逐点加入
目前有一条链, 链上的每个强连通块都存在哈密顿回路
插入一个新点x, 只需证明新图中的强连通块都存在哈密顿回路即可
如果不产生新连通块, 就是定理 1 中讨论的情况, 否则一定存在一条x的出边在x入边左边, 随便找一对
如果是连到不同连通块, 见左图.
如果是同一连通块, 必定存在符合环的走向的相邻的一入一出, 见右图.

定理 3

竞赛图存在一条哈密顿路径

证明 : 如图示方法构造

引理

竞赛图里, 大小为 $n>1$ 的强连通块中, 大小为 $[3, n]$ 的简单环均存在

证明 :
n=3成立, n $\ge$ 4时只需证明存在大小为 $n-1$ 的就好了
考虑从原图中提出一个点, 剩下的图是一条链, 提出来的点有出边指向链头, 有来自链尾的入边.
如果剩下的图只有一个强连通块, 那么大小为 $n-1$ 的环已经存在了.
只需考虑至少两个强连通块的情况, 如图示方法构造
(在定理3构造的哈密顿路径中, 是一段环边一条链边这样走的, 将一段环边的起点/终点删掉.)

定理4

竞赛图判定定理 Landau's Theorem:
令 $s_i$ 为第 $i$ 个点的出度 (竞赛中获胜的积分)
对 $s$ 排好序后, 若满足 $\sum_{i=1}^k s_i\ge \binom k 2 且 \sum s = \binom n 2$ , 定能构造出一种竞赛图, 反之不能
构造初始图:每个点向前面的所有点连边, 设此时得分序列为 $a$ , 这个序列在上述条件中取到等号
保持 $\sum_{i=1}^k a_i \le \sum_{i=1}^k s_i$ , 并不断调整图, 直到 $a=s$
未构造完成时, 开头必然是一段等于后面接着一个 $a_l\lt s_l$
为了使按照后面的方法修改后的 $u$ 仍有序, 我们找到最后一个 $a_l=a_u$ 的 $u$ , 显然仍有 $a_u\lt s_u$
因为总和固定, 必能在 $u$ 后面找到 $a_v\gt s_v$ , 找到第一个 $v$
此时 $a_u\lt s_u\le s_v\lt a_v$ , 即 $a_v\ge a_u+2$
当存在 $\exists v\to u$ 时, 直接翻转这条边
否则必然存在点 $p$ , 使得 $\exists v\to p,p\to u$ , 将这条路径翻转
因为 $a_u\lt s_u$ , $a_i\le s_i, \forall i \in (u,v)$ , 不难证明修改后的序列仍然保持性质(任意a的前缀和都<=s的)
这样构造下去一定有解