AGC019-E Shuffle and Swap

给定两个长度为$n\le 10^5$的$01$串 $A, B$, 满足 $1$ 的数量相等

求通过下列方式将$A$变成$B$的概率 (mod意义下)

构造序列$a,b$. 使得 $a_i = A中第i个1的位置$, b同理

对$a,b$进行shuffle

然后for i from 1 to n: swap(A[a[i]], A[b[i]])

Analysis

瞎推了一波

显然, $A,B$中同为 $0$ 的项没有用的, 且答案只与 $A,B$中同为$1$的数量, 以及 $A,B$不同的数量有关

注意到求解的问题与原串的顺序无关, 我们调换成一种符合自己的思维方式的序列

A:  111111100010001000100
B:  111111100000100010001
a:  1111111   1   1   1 
b:  1111111     1   1   1  
      n个         m对

这是初始的 $a,b$可选 交换点 的位置

定义一次交换为 : 选择一个未使用的交换点$a$, 再选择一个未使用的交换点$b$, 将他们match, 然后, 交换$A$中的对应位置

如图

a:  1  1  1  1     1   1   1               a:  1  0  1  1     1   1   1 
		\                                          \
         ------------               =>              ------------ 
                     \                                          \
b:  1  1  1  1        1   1   1            b:  1  1  1  1        0   1   1
         n                m                         n                m

观察到

(1) $a$ 中的 $1$ 对应着 $A$中的 $1$, $B$中的$0$, $b$ 中的 $1$ 对应着 $A$中的 $0$, $B$中的$1$

(2) $n$中的每个位置, 每个位置有两个交换点可选. $m$ 中的位置, 每个位置仅有一个交换点可选

因此, 我们不可以选择 $n$ 中的 $b$ 交换点与 $m$ 中的 $a$ 交换点进行匹配. 否则会使 $a$ 中的该位置变成 $1$, 而该位置需要是 $0$, 后续又没有交换点来跟其他位置交换, 永远不能合法

考虑被$match$的位置组成若干连通块. 因为操作是依次进行, 考虑连通块中的第一个操作

(1) $n - n$ : 此时, 若被匹配的是同一位置. 连通块只有一条边. 否则, 两个位置各剩余了一个交换点, 一个 $a$, 一个 $b$. 此时:

这个 $a$ 不能与 $m$ 中的 $b$ 连, 否则永远是 $0$ (目前只剩一个交换点了)

这个 $b$ 不能与 $m$ 中的 $a$ 连, 这个是之前观察的结果

因此, 只能继续和 $n$ 内部连, 接着又有一对 $a,b$, 又只能在内部连

因此, 第一步选择了n-n连, 则只能在n内组成连通块

注意到$A$中这些位置都是$1$ , 排列顺序是可以任意的

(2) $m-m$ : 由于位置均只有一个交换点, 连通块只有一条边

(3) $n- m$ : 此时$m$中的点合法了, 但导致一个$n$中的位置变成了$0$

接着这个 $0$ 可以在 $n$ 被踢皮球传来传去

然后最后必须在 $m$ 中的某个 $a$ 结束, 即

a:  1  1  1  1     1   1   1               a:  1  1  1  0     1   1   1 
		      \                                          \
               ------               =>                    ------ 
                     \                                          \
b:  1  1  1  1        1   1   1            b:  1  1  1  1        0   1   1 
         n                m                         n                m

														  |
														  v

a:  0  0  0  0     1   1   1               a:  1  1  1  0     1   1   1 
		          /                            \  \  \   \
     -------------                  <=          \  \  \   ------ 
    /                                            \  \  \        \
b:  1  0  0  0        0  1   1            b:  1  1  1  1        0   1   1 
        n                m                         n                m

注意, 上图是交换点的可用状态, 对应$A$中的$0$ 从右往左一直被踢到了某个位置, 回归合法

第一步选择了n-m, 则只能在n中转一转, 然后回到m结束

Solution

因此, 一个连通块内的至多一对 $m$ 中的点,

我们先用 $m!$ 将 $m$中的点分成 $m$对, 钦定好m中的匹配方法

然后我们先不考虑只含 $n$ 的连通块

考虑块内的排列方案数, 对于含 $m$ 连通块, 若含有 $0$ 个 $n$ 中的点, 则方案数$=1$

否则, 方案数 $n$个点组成一条链, $n!$

考虑到最后要多项式系数把 $n$分入不同的连通块, 多项式系数把连通块插在一起

构造生成函数 $$F(i) = i! \frac{1}{i!}\frac{1}{(i+1)!}=\frac{1}{(i+1)!}$$ 第一个阶乘是连通块内顺序, 第二个是把 $i$ 分入不同连通块的多项式系数分母, $i+1$ 是连通块大小, 算得是连通块插在一起的分母

那么答案为

\[m! \sum_{i=1}^n F^m(i) \frac{n!}{(n-i)!} \frac{(n+m)!}{(n-i)!}[(n-i)!]^2=m! \sum_{i=1}^n F^m(i) ~n!~(n+m)! \]

剩下的随意排列, 随意组成连通块, 所以是阶乘的平方

posted @ 2017-10-27 11:55 _zwl 阅读(526) 评论(0) 编辑收藏举报

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acha

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