bzoj 3533 [Sdoi2014]向量集 线段树+凸包+三分(+动态开数组) 好题

题目大意

维护一个向量集合，在线支持以下操作：
"A x y (|x|，|y| < =10^8)"：加入向量(x，y);
"Q x y l r (|x|，|y| < =10^8，1 < =L < =R < =T，其中T为已经加入的向量个数)询问第L个到第R个加入的向量与向量(x，y)的点积的最大值。
集合初始时为空。

分析

题目中相当于给出一堆点\((z,w)\)
询问点\(x,y\)
求\(maximize(ans=xz+yw)\)
\(\frac {ans} y=\frac x y z+w\)
\(w=-\frac x y z+\frac {ans} y\)
相当于函数\(w=f(z)=-\frac x y z+\frac {ans} y\)
就是一条斜率为\(-\frac x y\),截距为\(\frac {ans} y\)的线
对于一次询问中,斜率不变，截距记为\(D\)
①y>0，我们要使ans尽可能大，则截距尽可能大，答案在上凸壳
②y<0，我们要使ans尽可能大，则截距尽可能小，答案在下凸壳
③y=0，我们要使ans尽可能大，则xz尽可能大，z只会在最左最右，而最左最右的点一定在凸壳上，所以在上下凸壳找都行

做法

线段树维护凸包+三分
当然不能每插入一个点都合并一下
注意到一个没有插满的线段是不会被询问的
所以只有当插入位置为线段右端点时，将线段上的点搞一个凸包
每条线段合并一次，每条线段上有恰好\(r-l+1\)个点
所以每层n个点，凸包\(n\log n\)，总共\(\log n\)层
总复杂度\(n \log^2 n\)

注意

1.三分时要保证函数中没有重点，不然会有\(bug\)
2.\(ans\)可能为负，所以取\(max\)时的初始值为\(-INF\)
3.线段树大小为比\(n*2\)大的一个二进制数
4.数组大小为\(n*(\log n +1)+1\)

小结

扫描线的思维是找单调性，判断答案是否在凸包上的一种好方法
这种题只是说答案在凸包上，实际和凸包没有太大的关联
所以我们不必要先搞出询问区间的凸包再三分
只需要分段取出答案再取max就好了

solution

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int M=1048576;
const int N=10485763;
const LL INF=9223372036854775807;

LL rd(){
	LL x=0;bool f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
	return f?x:-x;
}

struct pt{
	LL x,y;
	pt (LL _x=0.0,LL _y=0.0){x=_x;y=_y;}
};
bool operator <(pt x,pt y){return (x.x!=y.x)?(x.x<y.x):(x.y<y.y);}
pt operator +(pt x,pt y){return pt(x.x+y.x,x.y+y.y);}
pt operator -(pt x,pt y){return pt(x.x-y.x,x.y-y.y);}
LL dot(pt x,pt y){return x.x*y.x+x.y*y.y;}
LL det(pt x,pt y){return x.x*y.y-x.y*y.x;}
LL side(pt x,pt y,pt z){return det(y-x,z-x);}

LL n,lst,typ,ps;
char s[7];
int g[M<<1],te;
struct edge{pt y;int nxt;}e[N];

void addedge(int x,pt y){
	e[++te].y=y;e[te].nxt=g[x];g[x]=te;
}

pt mempool[N];
int tot;
struct arr{
	pt *s;int top;
	void rsz(int n){
		top=0;
		s=mempool+tot+1;
		tot+=n+1;
	}
}up[M<<1],dw[M<<1];
pt a[M];

LL decode(LL x){
	if(typ) return x^(lst&0x7fffffff);
	return x;
}

void convex(int x){
	int p,tp=0,i;
	for(p=g[x];p;p=e[p].nxt) a[++tp]=e[p].y;
	sort(a+1,a+tp+1);
	up[x].rsz(tp);
	for(i=1;i<=tp;i++){
		while(up[x].top>1&&side(up[x].s[up[x].top-1],up[x].s[up[x].top],a[i])>=0) up[x].top--;
		up[x].s[++up[x].top]=a[i];
	}
	dw[x].rsz(tp);
	for(i=1;i<=tp;i++){
		while(dw[x].top>1&&side(dw[x].s[dw[x].top-1],dw[x].s[dw[x].top],a[i])<=0) dw[x].top--;
		dw[x].s[++dw[x].top]=a[i];
	}
}

LL gmx(int x,pt d){
	arr &nw=(d.y>0)?up[x]:dw[x];
	int l=1,r=nw.top,m1,m2,i;
	LL tp1,tp2;
	while(r-l>=3){
		m1=(l+l+r)/3;
		m2=(r+l+r)/3;
		tp1=dot(nw.s[m1],d);
		tp2=dot(nw.s[m2],d);
		if(tp1<tp2) l=m1;
		else r=m2;
	}
	LL ans=-INF;
	for(i=l;i<=r;i++) ans=max(ans,dot(nw.s[i],d));
	return ans;
}

void ins(int x,int l,int r,int to,pt d){
	if(l==r){
		up[x].rsz(1);dw[x].rsz(1);
		up[x].top=dw[x].top=1;
		up[x].s[1]=dw[x].s[1]=d;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(to<=mid) ins(x<<1,l,mid,to,d);
	else ins(x<<1|1,mid+1,r,to,d);
	addedge(x,d);
	if(r==to) convex(x);
}

LL get(int x,int l,int r,int tl,int tr,pt d){
	if(tl<=l&&r<=tr) return gmx(x,d);
	int mid=l+r>>1;
	LL res=-INF;
	if(tl<=mid) res=max(res,get(x<<1,l,mid,tl,tr,d));
	if(mid<tr) res=max(res,get(x<<1|1,mid+1,r,tl,tr,d));
	return res;
}

int main(){

	n=rd();scanf("%s",s);
	if(s[0]!='E') typ=1; else typ=0;
	
	int i;
	LL x,y,L,R;
	for(i=1;i<=n;i++){
		scanf("%s",s);
		if(s[0]=='A'){
			++ps;
			x=decode(rd());
			y=decode(rd());
			pt p=pt(x,y);
			ins(1,1,n,ps,p);
		}
		else{
			x=decode(rd());
			y=decode(rd());
			L=decode(rd());
			R=decode(rd());
			pt p=pt(x,y);
			lst=get(1,1,n,L,R,p);
			printf("%lld\n",lst);
		}
	}	
	return 0;
}