自然数幂求和方法2 ：斯特林数

两条公式：

\(x^n=\sum\limits_{k=0}^n \left\{\begin{matrix}n \\ k\end{matrix}\right\} x^{\underline k}\)
\(x^{\overline n}=\sum\limits_{k=0}^n\left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right] x^k\)
依然用到求两次的思想
对于\(x^n\)
可以理解为用x种颜色给n个点染色
我们有两种求法：
1.每个点有x种染色方案，x^n
2.总共染k种颜色，把n个点分到k个集合中

对于\(x^{\overline n}\)
可以理解为x种颜色，将n个点组成若干条项链，同一条项链上的点颜色必须相同，不同链可以染同种颜色
我们有两种求法
1.将n个点合成k条项链（轮换），再给每条项链统一染色，\(x^k\)
2.按编号从小到大加入每个点，可以选择在x种颜色中选一种自成一串，也可以选择接在之前某个珠子后面并继承一样的颜色，第一个点方案数x，第二个点方案数x+1，第三个点方案数x+2，第n个点方案数x+n-1,总方案数为\(x^{\overline n}\)

转化为下降幂

\[\begin{aligned} x^{\underline n}&=(-1)^n*(-x)^{\overline n}\\ &=(-1)^n*\sum_{k=0}^n \left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right] (-x)^k\\ &=\sum_{k=0}^n \left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right] (-1)^{n+k}x^k\\ (-1)^{n+k}=(-1)^{n-k},则有\\ x^{\underline n}&=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \left[\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right]x^k \end{aligned} \]

离散微积分

裂项求和的原理，通过把\(f(x)=\Delta g(x)=g(x+\Delta x)−g(x)\)
\(f\)相加的话\(g\)中相邻两项就会约掉
我们说\(g\)是\(f\)的原函数

\[\begin{aligned} \Delta x^{\underline n}&=(x+1)^{\underline n}-x^{\underline n}\\ &=(x+1)x^{\underline {n-1}}-(x-n+1)x^{\underline {n-1}}\\ &=nx^{\underline {n-1}}\\ 把式子的n换成n+1,则有\\ \Delta x^{\underline {n+1}}&=(n+1)x^{\underline n}\\ x^{\underline n}&=\frac{\Delta x^{\underline {n+1}}} {(n+1)} \\ x^{\underline n}&=\frac{(x+1)^{\underline {n+1}}} {(n+1)} - \frac{x^{\underline {n+1}}} {(n+1)} \\ \end{aligned}\]

所以\(x^{\underline n}\)的原函数为\(\frac 1 {(n+1)} {x^{\underline {n+1}}}\)

推导公式

\[\begin{aligned} f_t(n)&=\sum_{k=0}^n k^t\\ &=\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^t \left\{\begin{matrix}t\\i\end{matrix}\right\}k^{\underline i}\\ &=\sum_{i=0}^t \left\{\begin{matrix}t\\i\end{matrix}\right\}\sum_{k=0}^nk^{\underline i}\\ k^{\underline i}原函数为\frac 1 {(i+1)} {k^{\underline {i+1}}}\\ &=\sum_{i=0}^t \left\{\begin{matrix}t\\i\end{matrix}\right\}\sum_{k=0}^n \frac {(n+1)^{\underline {i+1}}} {i+1}\\ &=\sum_{i=0}^t \frac {\left\{\begin{matrix}t\\i\end{matrix}\right\}} {i+1}\sum_{k=0}^n {(n+1)^{\underline {i+1}}} \\ &=\sum_{i=0}^t \frac {\left\{\begin{matrix}t\\i\end{matrix}\right\}} {i+1}\sum_{k=0}^n\sum_{j=0}^{i+1}(-1)^{i+1-j}\left[\begin{matrix}i+1\\j\end{matrix}\right] (n+1)^j \end{aligned} \]