poj 1430 Binary Stirling Number 求斯特林数奇偶性 数形结合| 斯特林数奇偶性与组合数的关系+lucas定理 好题

题目大意

求子集斯特林数\(\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}\%2\)

方法1 数形结合

推荐一篇超棒的博客by Sdchr
就是根据斯特林的递推式，分奇偶讨论
得到一个函数\(P_{n,m}\equiv\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}\% 2\)
再根据函数递推式通过画图，数形结合
转化成图中从一点走到另一点的方案数
变成组合问题求解

做法

这是给连插板都不会的我看的
\(a_1+a_2+...+a_n=D，a_i\ge0\)
大于等于0这个条件难易插板
我们变成
\((a_1+1)+(a_2+1)+...+(a_n+1)=D+n，(a_i+1)\ge1\)
就变成\(D+n-1\)个空隙插\(n-1\)块板了

姿势

要求阶乘中有多少个二的因子
就是\(2^1\)的倍数个数+\(2^2\)的倍数个数+\(2^3\)的倍数个数

LL num(int x){
	LL res=0;
	for(int i=2;i<=x;i<<=1) res+=x/i;
	return res;
}

solution

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int Q=1000000007;
const int M=2003;

inline LL rd(){
	LL x=0;bool f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
	return f?x:-x;
}

int tcas;
LL n,m,D,odd;

LL num(int x){
	LL res=0;
	for(int i=2;i<=x;i<<=1) res+=x/i;
	return res;
}

int Calc(int x,int y){
	return num(x)-num(y)-num(x-y) == 0;
}

int main(){
	
	int i;
	tcas=rd();
	while(tcas--){
		n=rd(),m=rd();
		D=n-m;
		odd=(m+1)/2;
		printf("%d\n",Calc(D+odd-1,odd-1));
	}
	return 0;
}

方法二 斯特林数mod 2意义下与组合数关系+lucas定理

\(\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}=\dbinom {z}{w}\)

其中\(z=\lceil n-\frac {m+1} 2\rceil,w=\lfloor \frac {m-1} 2\rfloor\)

而又有结论\(\dbinom n m\%2=[n\)&\(m=m]\)

为什么，用lucas定理证一下

\(\dbinom n m\equiv \dbinom {n\%2}{m\%2}\dbinom{n/2}{m/2}(mod 2)\)

注意到这一项\(\dbinom {n\%2}{m\%2}\)

我们把n，m转为二进制

\(\binom0 1=0\),则若\(n_i=0\)，\(m_i=1\)，则\(\binom n m\equiv 0(mod 2)\)
\(\binom1 0=\binom 1 1=1\)，则若\(n_i=1\),无论\(m_i\)为0还是1对奇偶性无影响

所以有结论
\(\dbinom n m\%2=[n\)&\(m=m]\)