自然数幂求和方法1：扰动法（求两次）

自然数幂求和方法1：扰动法（求两次）

先来搞一搞等比数列
标号从1开始，\(a_n=a1*q^{n-1}\)
\(S_n=\sum_{k=1}^n a_k\)

\[\begin{aligned}S_n+a_{n+1}&=a_1+\sum_{k=2}^{n+1} a_k \\ S_n+a_n*q&=a_1+q*S_n \\ S_n&=\frac {a_1-a_n*q} {1-q} \end{aligned}\]

大概就是这样用两种不同的方法算同一个东西，来求出公式
\(S_t(n) =\sum\limits_{k=0}^n k^t\)

\[\begin{aligned} S_t(n)+(n+1)^t &=0+ \sum_{k=1}^{n+1} k^t \\ S_t(n)+(n+1)^t &=\sum_{k=0}^{n} (k+1)^t \\ 最后那项二项式展开一下 \\ S_t(n)+(n+1)^t&=\sum_{k=0}^{n} \sum_{i=0}^t \binom t i k^i \\ S_t(n)+(n+1)^t&=\sum_{i=0}^t \binom t i \sum_{k=0}^{n} k^i \\ S_t(n)+(n+1)^t&=\sum_{i=0}^t \binom t i S_i(n) \\ 我们想要的项S_t(n)不见了，没关系，把t+1代替原来的t \\ S_{t+1}(n)+(n+1)^{t+1}&=\sum_{i=0}^{t+1} \binom {t+1} i S_i(n) \\ S_{t+1}(n)+(n+1)^{t+1}&=\sum_{i=0}^{t-1} \binom {t+1} i S_i(n) + (t+1)*S_t(n)+ S_{t+1}(n)\\ S_t(n)&=\frac 1 {t+1} \left((n+1)^{t+1}-\sum_{i=0}^{t-1} \binom {t+1} i S_i(n)\right) \end{aligned}\]

小结

用这个式子求值可以做到\(O(t^2)\)
但求多项式系数不优\(O(t^3)\)
知道自然数幂求和是个t次多项式的话
高斯消元也可以做到\(O(t^3)\)
\(S_t(n)=\sum\limits_{k=0}^{t+1}a_k*n^k\)
我们求出每个\(n=1...t\)求出\(S_t(n)\)并对应把\(n^k\)代入到多项式中
得到\(t\)条多项式来解就可以解出系数\(a\)了