斯特林数 学习笔记

先观察两类斯特林三角形

第一类：轮换斯特林三角形
\(\begin{matrix}\underline n|&\left[\begin{matrix} n\\0\end{matrix}\right] &\left[\begin{matrix} n\\1\end{matrix}\right] &\left[\begin{matrix} n\\2\end{matrix}\right] &\left[\begin{matrix} n\\3\end{matrix}\right] &\left[\begin{matrix} n\\4\end{matrix}\right] \\0|&1&0&0&0&0\\1|&0&1&0&0&0\\2|&0&1&1&0&0\\3|&0&2&3&1&0\\4|&0&6&11&6&1\end{matrix}\)
\(\\\)

第二类：子集斯特林三角形
\(\begin{matrix}\underline n|&\left\{\begin{matrix} n\\0\end{matrix}\right\} &\left\{\begin{matrix} n\\1\end{matrix}\right\} &\left\{\begin{matrix} n\\2\end{matrix}\right\} &\left\{\begin{matrix} n\\3\end{matrix}\right\} &\left\{\begin{matrix} n\\4\end{matrix}\right\} \\0|&1&0&0&0&0\\1|&0 &1&0&0&0\\2|&0&1&1&0&0\\3|&0&1&3&1&0\\4|&0&1&7&6&1\end{matrix}\)

定义第一类斯特林数

第一类斯特林数：\(\left[\begin{matrix} n\\k\end{matrix}\right]\)
表示将n个元素排成k个非空轮换\((\)环cycle\()\)的方案数，读作\(n\)轮换\(k\)
类似于项链：\([A,B,C,D]=[B,C,D,A]=[C,D,A,B]=[D,A,B,C]\)
同时，这可以理解为集合套轮换
也就是说后面两种分法是同一个方案\(\{ [A,B],[C,D] \}=\{[C,D],[A,B]\}\)
类似项链，加入一个新元素的时候，可以考虑自己形成一个新的环，或者插入任意一个已有的环中的其中一个点后，所以有$$\left[\begin{matrix} n\k\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} n-1\k-1\end{matrix}\right]+(n-1)\left[\begin{matrix} n-1\k\end{matrix}\right]$$

定义第二类斯特林数

第二类斯特林数：\(\left\{\begin{matrix} n\\k\end{matrix}\right\}\)
表示将n个元素化成k个非空集合的方案数，读作n子集k
这可以理解为集合套集合
也就是说后面两种分法是同一个方案\(\{ \{A,B\},\{C,D\} \}=\{\{C,D\},\{A,B\}\}\)
加入一个新元素的时候，可以考虑自己形成一个新的集合，或者插入任意一个已有的集合中，所以有$$\left{\begin{matrix} n\k\end{matrix}\right}=\left{\begin{matrix} n-1\k-1\end{matrix}\right}+k\left{\begin{matrix} n-1\k\end{matrix}\right}$$

\(\\\)

不难发现，上面两个递推式只有后一项的系数不同，而且第一类为斯特林数上面的\(n-1\),第二类为斯特林数下面的\(k\)

性质

1.\(\left\{\begin{matrix} n\\k\end{matrix}\right\} = \left[\begin{matrix} n\\k\end{matrix}\right] = \left(\begin{matrix} n\\k\end{matrix}\right)=0 ，k>n\)

2.\(\left\{\begin{matrix} n\\n\end{matrix}\right\} = \left[\begin{matrix} n\\n\end{matrix}\right] = \left(\begin{matrix} n\\n\end{matrix}\right)=1\)

3.\(\left\{\begin{matrix} n\\0\end{matrix}\right\} = \left[\begin{matrix} n\\0\end{matrix}\right] = [n=0]\)

4.\(\left\{\begin{matrix} n\\1\end{matrix}\right\} = [n>0]\)

5.\(\left[\begin{matrix} n\\1\end{matrix}\right] = (n-1)!\)
就是相当于n个点的轮换方案数=(n-1)个点的排列数\(\frac {n!} n=(n-1)!\)

更多公式详见 《具体数学》