hdu 5930 GCD 线段树上二分/ 强行合并维护信息

from NOIP2016模拟题28

题目大意

n个点的序列,权值\(<=10^6\)
q个操作
1.单点修改
2.求所有区间gcd中,不同数个数

分析

1.以一个点为端点，向左或向右的gcd种数都只有\(\log Maxval\)种且收敛很快
1.权值较小可以用桶统计一个gcd的出现次数

做法1(正解)线段树上二分

1. \(n \log n\)递推预处理出以每个点为右端点的gcd
   顺便记录每种gcd出现的最左位置，用于统计数量，更新到桶里

2. 可以用一颗线段树维护单点修改，区间gcd

3. 考虑一次修改x（可以看成一次删除+一次插入）
   影响的只是包含x的区间
   根据分析1，我们在线段树上二分
   搞出x向左的\(\log\)个gcd及出现的次数，和向右的....
   因为左边某个区间的所有数和右边某个区间的所有数两两gcd都相同
   \(\log^2\)更新答案
   复杂度\(\log^2\),再加个gcd 的log

做法2 线段树强行维护

每个点维护3个信息
到左的log个gcd（tl）
到右的log个gcd（tr）
整个区间的gcd（all）
pushup的时候更新tl,tr，O(\(\log\))
左儿子tr和右儿子tl弄在一起gcd一下,O(\(\log^2\))，gcd还有一个\(\log\)
对于删除，点x到根上统计的信息都无效了，直接删掉
在插入的时候重新统计
复杂度\(\log^3\),再加个gcd 的log

比赛时强行意识流，求tl，tr的时候不顺带求出出现次数直接当成1
然后现在想想好像并不会错→_→

solution

做法1

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M=50007;
const int N=1000007;
typedef long long LL;

inline int rd(){
	int x=0;bool f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
	return f?x:-x;
}

int n,m;
int a[M];
int ans;

LL v[N];
void add(int d,LL num){
	if(v[d]==0)ans++;
	v[d]+=num;
}
void del(int d,LL num){
	v[d]-=num;
	if(v[d]==0)ans--;
}

int notprime[N];
int prime[N],cnt;
int p[N];//p[i]表示i因数中最小的素数 
int sn=1000;
int split[N][3];
int g[1007][1007];

int gcd(int x,int y){
	int ans=1,i,d;
	for(i=0;i<3;i++){
		if(split[x][i]<=sn) d=g[split[x][i]][y%split[x][i]];
		else d=(y%split[x][i]==0)?split[x][i]:1;
		ans*=d;
		y/=d;//避免算重 
	}
	return ans;
}

void init_gcd(){
	notprime[1]=1;
	int i,j,d;
	for(i=2;i<N;i++){
		if(!notprime[i]){
			prime[++cnt]=i;
			p[i]=i;
		}
		for(j=1;j<=cnt;j++){
			if((LL)prime[j]*i>=N) break;
			d=prime[j]*i;
			notprime[d]=1;
			p[d]=prime[j];
			if(i%prime[j]==0) break; 
		}
	}
	
	split[1][0]=split[1][1]=split[1][2]=1;
	for(i=2;i<N;i++){
		memcpy(split[i],split[i/p[i]],sizeof(split[i/p[i]]));
		if(split[i][0]*p[i]<=sn) split[i][0]*=p[i];
		else if(split[i][1]*p[i]<=sn) split[i][1]*=p[i];
		else split[i][2]*=p[i];
	}
	
	// gcd(0,0)=0 , gcd(0,x)=x
	for(i=0;i<=sn;i++)
	for(j=0;j<=i;j++){
		if(!i||!j) g[i][j]=i|j;
		else g[i][j]=g[j][i]=g[j][i%j];//j<=i
	}
}

struct node{
	int fir,d;
}q[57];
int tq=0;

bool cmp(node x,node y){
	if(x.d==y.d) return x.fir<y.fir;
	else return x.d<y.d;
}

int uni(int num){
	int i,cnt=0;
	for(i=1;i<=num;i++)
		if(q[i].d!=q[i-1].d) q[++cnt]=q[i];
	return cnt;
}

void init_ans(){
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=tq;j++) q[j].d=gcd(q[j].d,a[i]);
		q[++tq].d=a[i];q[tq].fir=i;
		sort(q+1,q+tq+1,cmp);
		tq=uni(tq);
		for(j=1;j<tq;j++) add(q[j].d,q[j+1].fir-q[j].fir);
		add(q[tq].d,i+1-q[tq].fir);
	}
}

int all[M<<2];

void pushup(int x){
	all[x]=gcd(all[x<<1],all[x<<1|1]);
}

void build(int x,int l,int r){
	if(l==r){
		all[x]=a[l];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(x<<1,l,mid);
	build(x<<1|1,mid+1,r);
	pushup(x);
}

void update(int x,int l,int r,int to){
	if(l==r){
		all[x]=a[l];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(to<=mid) update(x<<1,l,mid,to);
	else update(x<<1|1,mid+1,r,to);
	pushup(x);
}

int getlf(int x,int l,int r,int tl,int tr,int G){
	if(tl<=l&&r<=tr && all[x]%G==0) return 0;
	if(l==r) return l;
	int mid=l+r>>1,tp=0;
	if(mid<tr) tp=getlf(x<<1|1,mid+1,r,tl,tr,G);
	if(tl<=mid&&tp==0) tp=getlf(x<<1,l,mid,tl,tr,G);
	return tp;
}

int getrt(int x,int l,int r,int tl,int tr,int &G){
	if(tl<=l&&r<=tr && all[x]%G==0) return n+1;
	if(l==r) return l;
	int mid=l+r>>1,tp=n+1;
	if(tl<=mid) tp=getrt(x<<1,l,mid,tl,tr,G);
	if(mid<tr&&tp==n+1) tp=getrt(x<<1|1,mid+1,r,tl,tr,G);
	return tp;
}

struct nnd{
	int num,d;
	nnd(int nn=0,int dd=0){num=nn;d=dd;}
}lf[57],rt[57];
int cl,cr;

void mdf(int x,int kd){
	int l,r,tp,nw,i,j;
	cl=cr=0;
	
	l=1,r=x,nw=a[x];
	while(l<=r){
		tp=getlf(1,1,n,l,r,nw);
		lf[++cl]=nnd(r-tp,nw);
		if(tp!=0) nw=gcd(nw,a[tp]);
		r=tp;
	}
	
	l=x,r=n,nw=a[x];
	while(l<=r){
		tp=getrt(1,1,n,l,r,nw);
		rt[++cr]=nnd(tp-l,nw);
		if(tp!=n+1) nw=gcd(nw,a[tp]);
		l=tp;
	}
	
	for(i=1;i<=cl;i++)
	for(j=1;j<=cr;j++){
		if(kd==1) add(gcd(lf[i].d,rt[j].d),lf[i].num*rt[j].num);
		else del(gcd(lf[i].d,rt[j].d),lf[i].num*rt[j].num);
	}
}

int main(){
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("a.in","r",stdin);
	freopen("a.out","w",stdout);
	#endif
	n=rd(),m=rd();
	int i,x,y;
	for(i=1;i<=n;i++) a[i]=rd();
	init_gcd();
	init_ans();
	build(1,1,n);
	for(i=1;i<=m;i++){
		x=rd(),y=rd();
		mdf(x,-1);
		a[x]=y;
		update(1,1,n,x);
		mdf(x,1);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

做法2

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int M=50007;
const int N=57;

inline int rd(){
	int x=0;bool f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
	return f?x:-x;
}

int n,m;
int val[M];

struct node{
	int a[N];
};

node tl[M<<2],tr[M<<2];
int cl[M<<2],cr[M<<2],cp;
int all[M<<2];

LL num[1000007];
int ans;

int gcd(int x,int y){
	while(y){
		x%=y;
		swap(x,y);
	}
	return x;
}

void add(int d){
	if(num[d]==0) ans++;
	num[d]++;
}

void del(int d){
	num[d]--;
	if(num[d]==0) ans--;
}

void eras(int x){
	int lc=x<<1,rc=x<<1|1;
	int i,j;
	for(i=1;i<=cr[lc];i++)
	for(j=1;j<=cl[rc];j++)
		del(gcd(tr[lc].a[i],tl[rc].a[j]));
}

void pushup(int x){
	int lc=x<<1,rc=x<<1|1;
	int i,j;
	for(i=1;i<=cr[lc];i++)
	for(j=1;j<=cl[rc];j++)
		add(gcd(tr[lc].a[i],tl[rc].a[j]));
		
	all[x]=gcd(all[lc],all[rc]);
	
	cl[x]=0;
	for(i=1;i<=cl[lc];i++) tl[x].a[++cl[x]]=tl[lc].a[i];
	for(i=1;i<=cl[rc];i++) tl[x].a[++cl[x]]=gcd(all[lc],tl[rc].a[i]);
	sort(tl[x].a+1,tl[x].a+cl[x]+1);
	cl[x]=unique(tl[x].a+1,tl[x].a+cl[x]+1)-(tl[x].a+1);
	
	cr[x]=0;
	for(i=1;i<=cr[rc];i++) tr[x].a[++cr[x]]=tr[rc].a[i];
	for(i=1;i<=cr[lc];i++) tr[x].a[++cr[x]]=gcd(tr[lc].a[i],all[rc]);
	sort(tr[x].a+1,tr[x].a+cr[x]+1);
	cr[x]=unique(tr[x].a+1,tr[x].a+cr[x]+1)-(tr[x].a+1);
}

void build(int x,int l,int r){
	if(l==r){
		tl[x].a[cl[x]=1]=val[l];
		tr[x].a[cr[x]=1]=val[l];
		all[x]=val[l];
		add(val[l]);
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(x<<1,l,mid);
	build(x<<1|1,mid+1,r);
	pushup(x);
}

void chg(int x,int l,int r,int to){
	if(l==r){
		del(val[l]);
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(to<=mid) chg(x<<1,l,mid,to);
	else chg(x<<1|1,mid+1,r,to);
	eras(x);
}

void mdf(int x,int l,int r,int to){
	if(l==r){
		tl[x].a[cl[x]=1]=val[l];
		tr[x].a[cr[x]=1]=val[l];
		all[x]=val[l];
		add(val[l]);
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(to<=mid) mdf(x<<1,l,mid,to);
	else mdf(x<<1|1,mid+1,r,to);
	pushup(x);
}

int main(){
	#ifndef ONLINE_JUDGE
		freopen("a.in","r",stdin);
		freopen("a.out","w",stdout);
	#endif
	int i,x,y;
	n=rd(),m=rd();
	for(i=1;i<=n;i++) val[i]=rd();
	
	build(1,1,n);
	
	for(i=1;i<=m;i++){
		x=rd(),y=rd();
		chg(1,1,n,x);
		val[x]=y;
		mdf(1,1,n,x);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}