虚树 学习笔记

虚树

主要解决树上每次询问k个关键点，满足\(\sum k\)是线性的问题

性质1

将k个点按dfn序排序后，
集合\(\{\)相邻两点lca\(\}=\{\)任意两点lca\(\}\)
反证:
设\(S=\{\)相邻两点lca\(\}\)
设按dfn序排序后有两点x,y(\(x<y\)且\(y-x>1\))
我们假设x,y的lca为Anc,且Anc\(\not \in S\)
则x,y属于Anc的两棵不同子树
根据dfn序的性质对于点z(\(x<z<y\))
z一定是Anc的一个子树
①x,z属于Anc的同一子树，则lca(z,y)=Anc
②z,y属于Anc的同一子树，则lca(x,z)=Anc
③x,z,y属于Anc的三棵不同子树,则lca(x,z)=lca(z,y)=Anc

性质2

可以用树链的并减去虚树总根到root距离得到虚树边权和

性质3

虚树中叶子节点必为关键点（关键点存法可以使用时间戳）

性质4

对于虚树上任意一点x，不会存在x的一个子树没有任何关键点

构建

先按dfn序排序，算出总lca为根
先在栈中插入根，
对于每个点如果在栈顶的子树中，直接入队
否则进行一些出队，大概如图下：

int vbuild(int z){
	int rt;
	int i,x,anc;
	sort(que+1,que+z+1,cmp);
	rt=que[1];
	for(i=1;i<z;i++){
		x=LCA(que[i],que[i+1]);
		hd[x]=0; kd[x]=2;//各种初始化 
		if(dep[x]<dep[rt]) rt=x;//找到总rt
	}
	//先初始化lca再初始化关键点，避免出现关键点是lca被判错kd
        //hd[1]=0; kd[1]=2;//如果题目要求算上1就加这一行，记得是在算下面之前写，理由同上
	for(i=1;i<=z;i++){
		x=que[i];
		hd[x]=0; kd[x]=1;//hd[]是静链头
	}

	td=tot=0;//td是静链标号，tot是栈元素个数
	st[++tot]=rt;
	for(i=1;i<=z;i++){
		x=que[i];
		anc=LCA(x,st[tot]);
		if(anc==st[tot]) st[++tot]=x;//情况①
		else{
			while( tot>1 && anc==LCA(st[tot-1],x)){
				addlink(st[tot-1],st[tot]);
				tot--;
			}//pop && link
			addlink(anc,st[tot]);//link
			st[tot]=anc;
			st[++tot]=x;
			//push
		}
	}
	for(i=1;i<tot;i++) addlink(st[i],st[i+1]);//pop && link
	return rt;
}

注意点

1.lca不是瓶颈时树剖比较方便，top重名则把stack的计数器改为tot
2.dp时特别特别注意对1类点(关键点)和2类点(非关键点)的分类讨论