位运算之巧解

上班打卡

Problem Description:

某公司上班使用打卡制度，员工需要在打卡机器上打入和打出才算上班。每个员工都有自己对应编号K,编号为一个整数(1 <= K <=50000),某天有一员工忘记了一次打出。现在给你当天员工的打卡信息，你能找出该员工的编号吗？

Input:

输入包含多组测试，第一行包含数字N，表示公司的人数（1<=N<=50000）。第二行有2N-1个数，两两之间有空格，表示所有员工的打卡记录。输入N为0则退出程序，不做输出。

Output:

对于每组测试，单独一行输出忘记打卡员工的编号。

Sample Input:

4
10 12 9 12 250 9 10

Sample Output:

250
解题思路：给出2n-1个数，其中有n个数出现的次数都为2，剩下的1个数出现的次数为1，要求快速找出这个数。通过异或运算的特点可知，①自己异或本身的值为0，②任何数和0异或都为其本身。因此异或所有出现次数为2的数最终的值为0，那么就只剩下出现次数为1的元素。
AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,x,ans;
int main(){
    while(cin>>n&&n){
        n=2*n-1,ans=0;
        while(n--){cin>>x;ans^=x;}
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

小白刷分记(二)

Problem Description:

小白最近刷听力，刷出了一个大麻烦。不知为何刷出了负分，小白只能向大白求助。
无奈大白翻车了。所以小白向小光师公求助，小光师公说只要你帮我解决了下面这道题目，
我就帮你刷回正分。无奈小白不会，只能交给聪明的你来解决了。
数组A中，除了某一个数字x之外，其他数字都出现了三次，
而x出现了一次。请给出最快的方法找到x。 

Input:

先输入n，表示要输入n个数字。( 0< n < 10^8)
然后输入n个数字m。(-10^8)< m <(10^8)

Output:

输出x

Sample Input:

10
2223 1 1 2223 1 -111 1 2223 1 1
4
5 5 5 -6

Sample Output:

-111
-6
解题思路：给出n个数，其中有(n-1)/3个数出现的次数都为3，剩下的1个数出现的次数为1，要求快速找出这个数。考虑每个数的二进制，因为每个数出现的次数都为3，所以32位二进制中每个bit上'1'的统计结果都可以被3整除，否则就是出现次数为1的数在这个bit上贡献出多余的1。因此，将每个数转化成其二进制，并且统计每个bit上1的个数，然后累加某个bit上不能被3整除的十进制数1<<bit，最终即可得到出现次数为1的数字。
推广一下，所有其他数字出现n（n>=2）次，而一个数字出现1次都可以用这种解法来推导出这个出现1次的数字。
AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,x,ans,bits[32];
int main(){
    while(~scanf("%d",&n)){
        ans=0;memset(bits,0,sizeof(bits));
        for(int i=1;i<=n;++i){
            scanf("%d",&x);
            if(!x)continue;
            for(int j=0;j<32;++j)bits[j]+=((x>>j)&1);//要用右移操作，便于正确计算和避免溢出
        }
        for(int i=0;i<32;++i)
            if(bits[i]%3!=0)ans+=(1<<i);//累加二进制上对应的值
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

NYOJ #744 蚂蚁的难题(一)

描述

小蚂蚁童鞋最近迷上了位运算，他感觉位运算非常神奇。不过他最近遇到了一个难题：

给定一个区间[a,b],在区间里寻找两个数x和y，使得x异或y最大。来，帮帮他吧！

输入

有多组测试数据（以EOF结尾）。
每组数据输入两个数a,b.(0<=a<b<2^63)。

输出

输出a到b之间，异或最大的值。

样例输入

1 2
8 9

样例输出

3
1

解题思路：为了异或得到最大值，我们应选择某两个数的二进制位是互补的，并且其中一个数的二进制最高位的'1'是区间所有数的二进制中相对较高位的'1'，这样就能得到全是1的二进制数，其位数为bits，则得到的异或值为2^bits-1。于是，通过异或区间左右端点的值a^b可以发现，如果a和b二进制的前几位是相同的，那么在a到b的所有数中，这前几位都不会改变，即无论选什么数进行异或，这前几位都是0，而后面的每个bit里0和1都可能出现，并且一定能找到互补的两个数使其异或后后面的几个bit都是1，这便可得到最大值；同理如果a、b的最高位不同，那么此时取决于b的二进制位数，因为b中某些bit为0的位一定能通过区间中某个数的二进制bit进行'1'互补，即得到全为1的那几位。因此只需要找到a和b的二进制从高位往后数第一个不相同的位，然后如果余下m位，那么答案就是2^m-1。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;LL a,b;
LL get_bits(LL x){//得到异或的值的二进制位数
    LL bits=1;
    while(x>>=1)bits++;
    return bits;
}
int main(){
    while(cin>>a>>b){
        cout<<((1LL<<get_bits(a^b))-1)<<endl;//2^n-1
    }
    return 0;
}