题解报告：hihoCoder #1050 : 树中的最长路
描述
上回说到，小Ho得到了一棵二叉树玩具，这个玩具是由小球和木棍连接起来的，而在拆拼它的过程中，小Ho发现他不仅仅可以拼凑成一棵二叉树！还可以拼凑成一棵多叉树——好吧，其实就是更为平常的树而已。
但是不管怎么说，小Ho喜爱的玩具又升级换代了，于是他更加爱不释手（其实说起来小球和木棍有什么好玩的是吧= =）。小Ho手中的这棵玩具树现在由N个小球和N-1根木棍拼凑而成，这N个小球都被小Ho标上了不同的数字，并且这些数字都是出于1..N的范围之内，每根木棍都连接着两个不同的小球，并且保证任意两个小球间都不存在两条不同的路径可以互相到达。总而言之，是一个相当好玩的玩具啦！
但是小Hi瞧见小Ho这个样子，觉得他这样沉迷其中并不是一件好事，于是寻思着再找点问题让他来思考思考——不过以小Hi的水准，自然是手到擒来啦！
于是这天食过早饭后，小Hi便对着又拿着树玩具玩的不亦乐乎的小Ho道：“你说你天天玩这个东西，我就问你一个问题，看看你可否知道？”
“不好！”小Ho想都不想的拒绝了。
“那你就继续玩吧，一会回国的时候我不叫上你了~”小Hi严肃道。
“诶！别别别，你说你说，我听着呢。”一向习惯于开启跟随模式的小Ho忍不住了，马上喊道。
小Hi满意的点了点头，随即说道：“这才对嘛，我的问题很简单，就是——你这棵树中哪两个结点之间的距离最长？当然，这里的距离是指从一个结点走到另一个结点经过的木棍数。”。
“啊？”小Ho低头看了看手里的玩具树，困惑了。
提示一：路总有折点，路径也不例外！输入
每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。
每组测试数据的第一行为一个整数N，意义如前文所述。
每组测试数据的第2~N行，每行分别描述一根木棍，其中第i+1行为两个整数Ai，Bi，表示第i根木棍连接的两个小球的编号。
对于20%的数据，满足N<=10。
对于50%的数据，满足N<=10^3。
对于100%的数据，满足N<=10^5，1<=Ai<=N, 1<=Bi<=N
小Hi的Tip：那些用数组存储树边的记得要开两倍大小哦！
输出
对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示给出的这棵树中距离最远的两个结点之间相隔的距离。
样例输入
8 1 2 1 3 1 4 4 5 3 6 6 7 7 8
样例输出
6
解题思路：题意：有n个点，它们之间有n-1条无向边，形成一棵树，并且保证任意两个点间都不存在两条不同的路径可以互相到达。求这棵树中哪两个结点之间的距离最长？这里的距离是指从一个结点走到另一个结点经过的边数。
求树的直径(最长路)，也就是图中某两点的最长距离。做法：随便以某一个点开始dfs(bfs)找到深度最大的便是直径的某一端点t，然后从这个点t再dfs(bfs)一次就可以找出直径的另一端点s，这样s---t就是树的直径，也就是常说的树上最长路。为什么可以随便以一个点开始就能找到直径的某一端点呢？请看这篇博文(不难理解)：树的直径最长路证明。
AC代码一(129ms)：两次dfs。时间复杂度为0(2E)。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int maxn=1e5+5; 4 vector<int> vec[maxn]; 5 int n,u,v,maxdep,maxvex;bool vis[maxn]; 6 void dfs(int x,int dep){ 7 vis[x]=true; 8 int sz=vec[x].size(); 9 if(sz==1&&dep>maxdep){maxdep=dep;maxvex=x;}//找到离当前根节点最远的叶子节点，更新深度值和叶子节点编号 10 for(int i=0;i<sz;++i)//遍历其邻接点 11 if(!vis[vec[x][i]])dfs(vec[x][i],dep+1); 12 } 13 int main(){ 14 while(~scanf("%d",&n)){ 15 for(int i=1;i<=n;++i)vec[i].clear(); 16 while(--n){ 17 scanf("%d%d",&u,&v); 18 vec[u].push_back(v); 19 vec[v].push_back(u); 20 } 21 maxdep=0,maxvex=1; 22 memset(vis,false,sizeof(vis)); 23 dfs(1,0);//第一次随便以某个点为根节点，找树的直径的某一端点maxvex 24 memset(vis,false,sizeof(vis));maxdep=0; 25 dfs(maxvex,0);//第二次从maxvex去找树直径的另一端点 26 printf("%d\n",maxdep); 27 } 28 return 0; 29 }
AC代码二(89ms)：两次bfs。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int maxn=1e6+5; 4 struct EDGE{int to,next;}edge[maxn<<1]; 5 struct node{ 6 int u,dep; 7 node(int x,int y):u(x),dep(y){} 8 }; 9 int n,x,y,cnt,res,maxdep,maxvex,head[maxn];bool vis[maxn]; 10 queue<node> que; 11 void add_edge(int u,int v){ 12 edge[cnt].to=v; 13 edge[cnt].next=head[u]; 14 head[u]=cnt++; 15 } 16 void bfs(int u,int dep,int &maxdep,int &maxvex){ 17 while(!que.empty())que.pop(); 18 memset(vis,false,sizeof(vis)); 19 que.push(node(u,dep));vis[u]=true; 20 while(!que.empty()){ 21 node nod=que.front();que.pop(); 22 for(int i=head[nod.u];~i;i=edge[i].next){ 23 int v=edge[i].to; 24 if(!vis[v]){ 25 vis[v]=true; 26 que.push(node(v,nod.dep+1)); 27 } 28 } 29 if(maxdep<nod.dep)maxdep=nod.dep,maxvex=nod.u;//取最深 30 } 31 } 32 int main(){ 33 while(~scanf("%d",&n)){ 34 memset(head,-1,sizeof(head));cnt=0; 35 while(--n){ 36 scanf("%d%d",&x,&y); 37 add_edge(x,y); 38 add_edge(y,x); 39 } 40 maxdep=0,maxvex=1; 41 bfs(1,0,maxdep,maxvex);maxdep=0; 42 bfs(maxvex,0,maxdep,maxvex); 43 printf("%d\n",maxdep); 44 } 45 return 0; 46 }
AC代码三(79ms)：一次dfs。这里用到了一个树的性质：树的直径的长度一定会是某个点t的最长距离first(t)与次长距离second(t)之和。最后求出max{first(t),second(t)}就可以了。如果用first(t),second(t)分别表示以t为根节点的子树中最长路和次长路的长度，那么只需要求出t的所有子结点的first值，first(t)便是这些first值中的最大值+1，second(t)便是这些first值中的次大值+1。时间复杂度为O(E)。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 const int maxn=1e6+5; 4 struct node{int to,next;}edge[maxn<<1];//无向图双向边，2倍边数 5 int n,x,y,cnt,res,head[maxn]; 6 void add_edge(int u,int v){//链式前向星 7 edge[cnt].to=v; 8 edge[cnt].next=head[u];//第cnt条边记录上一次起点为u的边的编号 9 head[u]=cnt++;//head[u]表示当前以u为起点的第cnt条边 10 } 11 int dfs(int u,int fa,int &maxdist){ 12 int Dmax=0,Dsec=0;//每一个子树的根节点都有一个最长距离和次长距离，因此要重新定义，不然会出错 13 for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){ 14 //printf("第%d条边\n",i/2); 15 int v=edge[i].to;//取出子树节点 16 //cout<<"fa:"<<fa<<"，u:"<<u<<"，v:"<<v<<endl; 17 if(v^fa){//避免再次遍历到父节点 18 //cout<<"u:"<<u<<' '<<"v:"<<v<<endl; 19 int nowd=dfs(v,u,maxdist)+1; 20 if(nowd>Dmax)Dsec=Dmax,Dmax=nowd; 21 else if(nowd>Dsec)Dsec=nowd; 22 //求出t的所有子结点的Dmax(first)值，first(t)便是这些first值中的最大值+1，second(t)便是这些first值中的次大值+1. 23 //cout<<u<<"--->"<<v<<"、子树的最长深度："<<nowd<<"，第一长："<<Dmax<<"，第二长："<<Dsec<<endl; 24 } 25 } 26 maxdist=max(maxdist,Dmax+Dsec);//更新树的直径：最长+次长 27 //cout<<"目前最长的距离"<<maxdist<<endl; 28 return Dmax;//返回当前以u为根的子树中的最大深度 29 } 30 int main(){ 31 while(~scanf("%d",&n)){ 32 memset(head,-1,sizeof(head));cnt=0; 33 while(--n){ 34 scanf("%d%d",&x,&y); 35 add_edge(x,y); 36 add_edge(y,x); 37 } 38 int maxlen=0; 39 dfs(1,-1,maxlen); 40 printf("%d\n",maxlen); 41 } 42 return 0; 43 } 44 /** 45 样例模拟过程如下： 46 8 47 1 2 48 1 3 49 1 4 50 4 5 51 3 6 52 6 7 53 7 8 54 第2条边 55 fa:-1，u:1，v:4 56 u:1 v:4 57 第3条边 58 fa:1，u:4，v:5 59 u:4 v:5 60 第3条边 61 fa:4，u:5，v:4 62 目前最长的距离0 63 4--->5、子树的最长深度：1，第一长：1，第二长：0 64 第2条边 65 fa:1，u:4，v:1 66 目前最长的距离1 67 1--->4、子树的最长深度：2，第一长：2，第二长：0 68 第1条边 69 fa:-1，u:1，v:3 70 u:1 v:3 71 第4条边 72 fa:1，u:3，v:6 73 u:3 v:6 74 第5条边 75 fa:3，u:6，v:7 76 u:6 v:7 77 第6条边 78 fa:6，u:7，v:8 79 u:7 v:8 80 第6条边 81 fa:7，u:8，v:7 82 目前最长的距离1 83 7--->8、子树的最长深度：1，第一长：1，第二长：0 84 第5条边 85 fa:6，u:7，v:6 86 目前最长的距离1 87 6--->7、子树的最长深度：2，第一长：2，第二长：0 88 第4条边 89 fa:3，u:6，v:3 90 目前最长的距离2 91 3--->6、子树的最长深度：3，第一长：3，第二长：0 92 第1条边 93 fa:1，u:3，v:1 94 目前最长的距离3 95 1--->3、子树的最长深度：4，第一长：4，第二长：2 96 第0条边 97 fa:-1，u:1，v:2 98 u:1 v:2 99 第0条边 100 fa:1，u:2，v:1 101 目前最长的距离3 102 1--->2、子树的最长深度：1，第一长：4，第二长：2 103 目前最长的距离6 104 6 105 **/
