Luogu P3368 【模板】树状数组 2（区间修改，单点查询）

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某区间每一个数数加上x

2.求出某一个数的值

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含2或4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k

操作2： 格式：2 x 含义：输出第x个数的值

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

5 5
1 5 4 2 3
1 2 4 2
2 3
1 1 5 -1
1 3 5 7
2 4

输出样例#1：

6
10

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

样例说明：

故输出结果为6、10

解题思路：前面已经讲过树状数组的单点修改，单点(区间)查询了。对于这道题要求的是区间修改，单点查询，怎么实现呢？首先来引入差分思想：假设原数组为A[]，差分数组为d[]，树状数组为C[]（C数组和单点修改那个树状数组一样记录着某段区间的总和），则差分数组d[i]=A[i]-A[i-1]（A[0]=0），即记录当前i位置的元素与前一个元素的差值，那么单点查询A[i]的值只需求d[i]的前缀和，即(A[i]=d[1]+d[2]+...+d[i])。区间修改怎么利用差分数组呢？举个例子：设A[]={1,5,4,2,3}，那么d[]={1,4,-1,-2,1}，树状数组C[]={1,5,-1,2,1}，假设区间[2,4]中每个元素都加上2，则A[]={1,7,6,4,3}，那么d[]={1,6,-1,-2,-1},树状数组C[]={1,7,-1,4,-1}，修改后可以发现d数组中只有d[2]和d[5]改变了，而且d'[2]=d[2]+2=4+2=6，d'[5]=d[5]-2=1-2=-1，并且区间[3,4]中每个元素的差值d[i]不变，这是因为区间[2,4]中每个元素是同时加上2的。因此，当对区间[l,r]中每个元素加上k（区间修改）时，因为A[l]与前一个元素A[l-1]的差值增加了k，A[r+1]与A[r]的差值减少了k，所以只需对差分树组进行操作：d[l]+=k,d[r+1]-=k，又因为树状数组维护着差分数组，所以实际效果上也是对树状数组进行操作：C[l]+=k,C[r+1]-=k。输入的时候只需将差分数组建树，其他代码操作基本不变，单点查询时只需调用一次query(x)即可。

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=5e5+5;
int n,m,p,x,y;LL k,C[maxn],val[maxn];//C为差分数组
void add(int x,LL val){
    while(x<=n){C[x]+=val;x+=(x&-x);}
}
LL query(int x){
    LL ans=0;
    while(x>0){ans+=C[x];x-=(x&-x);}
    return ans;
}
int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        memset(C,0,sizeof(C));val[0]=0;//注意val[0]要初始化为0
        for(int i=1;i<=n;++i){
            scanf("%lld",&val[i]);
            add(i,val[i]-val[i-1]);//差分思想
        }
        while(m--){
            scanf("%d",&p);
            if(p==1){scanf("%d%d%lld",&x,&y,&k);add(x,k);add(y+1,-k);}
            else{scanf("%d",&x);printf("%lld\n",query(x));}//单点查询
        }
    }
    return 0;
}