题解【bzoj2440 [中山市选2011]完全平方数】

Description

求第 \(k\) 个不含平方因子的正整数。多组询问。\(k \leq 10^9, T \leq 50\)

Solution

网上的题解几乎都是容斥，这里给一个简单的也挺快的做法。

首先二分答案，然后问题转化成前 \(n\) 个数中有几个不含平方因子的数。

[\(n\) 不含平方因子] \(=\mu^2(n)\)

所以要求的就是 \(\sum\limits_{i=1}^{n}\mu^{2}(i)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d^2|i}\mu(d)=\sum\limits_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d^2}\rfloor\)

直接筛出 \(\sqrt n\) 以内的所有 \(\mu\) 然后直接 \(\sqrt n\) 算就可以了

非常简单好写，没有啥细节...

复杂度 \(O(T (\sqrt n) (\log n))\) 所以数据范围可以到 1e12 的2333

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll INF = 2 * 1e9; 
const int N = 100000; 
int T; ll k; 
int p[N + 50], flag[N + 50], cnt, mu[N + 50]; 
inline void prework() {
  mu[1] = 1; flag[1] = 1;
  for(int i = 2; i <= N; i++) {
    if(!flag[i]) {
      mu[i] = -1; p[++cnt] = i; 
    } for(int j = 1; j <= cnt && i * p[j] <= N; j++) {
      flag[i * p[j]] = 1;
      if(i % p[j] == 0) {
        mu[i * p[j]] = 0; break ; 
      } mu[i * p[j]] = mu[i] * -1; 
    }
  } 
}
inline bool check(ll n) {
  ll ret = 0; 
  for(ll d = 1; d * d <= n; d++) 
    ret += (n / (d * d)) * mu[d];
  return ret >= k;  
}
int main() {
  scanf("%d", &T); prework(); 
  while(T--) {
    scanf("%lld", &k); 
    ll l = 0, r = k * 2, ans; 
    while(l <= r) {
      ll mid = (l + r) / 2; 
      if(check(mid)) r = mid - 1, ans = mid;
      else l = mid + 1; 
    } printf("%lld\n", ans);
  }
  return 0; 
}